{"id":935,"date":"2016-02-10T09:22:55","date_gmt":"2016-02-10T08:22:55","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=935"},"modified":"2023-10-30T07:43:51","modified_gmt":"2023-10-30T06:43:51","slug":"quadratische-funktionen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/quadratische-funktionen\/","title":{"rendered":"Quadratische Funktionen"},"content":{"rendered":"\n<p>Du steckst beim Lernen fest und brauchst Hilfe beim Thema &#8222;Quadratische Funktionen&#8220;? In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir alles zu folgenden Themen:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#quadratischeFunktionen\">Was sind quadratische Funktionen?<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Nullstellen\">Nullstellen einer Parabel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#AllgemeineForm\">Allgemeine Form und Scheitelpunktform<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Scheitelpunktform\">Allgemeine Form in Scheitelpunktform<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ScheitelpunktformAllgemeineForm\">Scheitelpunktform in die allgemeine Form<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Schaut euch zu Beginn das Einf\u00fchrungsvideo zu Parabeln und quadratischen Funktionen von Daniel an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Parabeln, Quadratische Funktionen,&Uuml;bersicht,Scheitelpunkt,Stauchung,Streckung | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_KEuNUgIiIyI\"><div id=\"lyte_KEuNUgIiIyI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FKEuNUgIiIyI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Parabeln, Quadratische Funktionen,\u00dcbersicht,Scheitelpunkt,Stauchung,Streckung | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/KEuNUgIiIyI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FKEuNUgIiIyI%2F0.jpg\" alt=\"Parabeln, Quadratische Funktionen,&Uuml;bersicht,Scheitelpunkt,Stauchung,Streckung | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"quadratischeFunktionen\" class=\"anchor\">Was sind quadratische Funktionen?<\/h2>\n<p>Der Graph von quadratischen Funktionen ist immer eine Parabel. Zu Beginn wollen wir uns einmal die sogenannte Normalparabel $f\\left(x\\right)=x^2$ angucken:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1103\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_quadratisch.png\" alt=\"Quadratische Gleichungen Parabel\" width=\"355\" height=\"259\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_quadratisch.png 667w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_quadratisch-300x219.png 300w\" sizes=\"(max-width: 355px) 100vw, 355px\" \/><\/p>\n<p>Wir sehen, dass unsere Normalparabel ihren Scheitelpunkt im Punkt\u00a0$(0|0)$ hat. Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder h\u00f6chste Punkt einer Parabel. Diese Normalparabel k\u00f6nnen wir auf verschiedene Arten und Weisen transformieren (ver\u00e4ndern oder manipulieren). Das bedeutet, dass wir:<\/p>\n<ul>\n<li>ihren Scheitelpunkt in $x$-Richtung verschieben k\u00f6nnen (nach links oder nach rechts) oder<\/li>\n<li>in $y$-Richtung verschieben (nach oben oder nach unten)<\/li>\n<li>Au\u00dferdem k\u00f6nnen wir sie strecken (schmaler machen) oder stauchen (breiter machen) oder<\/li>\n<li>wir k\u00f6nnen sie an der $x$-Achse spiegeln, so dass ihre \u00d6ffnung nach unten zeigt.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Verschiebung in $x$-Richtung<\/h3>\n<p>Die Verschiebung in $x$-Richtung k\u00f6nnen wir in unserer Funktionsgleichung wie folgt ber\u00fccksichtigen. Dazu werfen wir einen Blick auf das nachfolgende Koordinatensystem.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1104\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch.png\" alt=\"Verschiedung in x-Richtung Parabel\" width=\"385\" height=\"248\" \/><\/p>\n<p>Der Scheitelpunkt dieser Parabel und alle anderen Punkte wurden ausgehend von der Normalparabel (hier: $g\\left(x\\right)=x^2$) um $2$ Einheiten nach rechts verschoben.<br \/>\nWenn wir einen Blick auf die Funktionsgleichung werfen, sehen wir, dass sie wie folgt lautet:<\/p>\n<p>\\[f\\left(x\\right)={(x-2)}^2\\]<br \/>\nEine Verschiebung in $x$-Richtung kann man immer daran erkennen, dass der Wert, um welchen die Parabel verschoben wurde, mit umgekehrten Vorzeichen in der Klammer auftaucht.<\/p>\n<p>Dazu wollen wir uns ebenfalls eine Parabel angucken, welche nach links verschoben wurde.\u00a0Die Funktionsgleichung dieser Parabel lautet:<br \/>\n\\[f\\left(x\\right)={(x+2)}^2\\]<\/p>\n<p>Die Parabel wurde um $2$ Einheiten nach links verschoben. Das erkennen wir daran, dass die $-2$ in unserer Gleichung innerhalb der Klammer mit einem umgekehrten Vorzeichen auftaucht.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1105\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch1.png\" alt=\"Parabel verschieben \/ quadratische Funktionen\" width=\"376\" height=\"228\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch1.png 656w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch1-300x182.png 300w\" sizes=\"(max-width: 376px) 100vw, 376px\" \/><\/p>\n\n<h3>Verschiebung in $y$-Richtung<\/h3>\n<p>Die Verschiebung in $y$-Richtung erkennt ihr daran, dass der Wert, um den die Parabel in $y$-Richtung verschoben wurde ohne Klammer mit dem korrekten Vorzeichen angeh\u00e4ngt wird.<\/p>\n<p>Betrachten wir die untenstehende Parabel. Diese Parabel wurde um $2$ Einheiten nach oben verschoben.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1108\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch2.png\" alt=\"quadratische Funktionen Verschiebung\" width=\"264\" height=\"270\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch2.png 429w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch2-294x300.png 294w\" sizes=\"(max-width: 264px) 100vw, 264px\" \/><br \/>\nDie zugeh\u00f6rige Funktionsgleichung muss also $f\\left(x\\right)=x^2+2$ lauten.<\/p>\n<p>Als n\u00e4chstes wollen wir eine Parabel angucken, welche nach unten verschoben wurde.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1109\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch3.png\" alt=\"Quadratische Funktionen Verschiebung nach unten\" width=\"273\" height=\"260\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch3.png 465w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch3-300x285.png 300w\" sizes=\"(max-width: 273px) 100vw, 273px\" \/><\/p>\n<p>Wir erkennen wieder an unserer Funktionsgleichung $f\\left(x\\right)=x^2-2$, dass unsere Parabel nach unten verschoben wurde.<br \/>\nNat\u00fcrlich ist es auch m\u00f6glich, sowohl eine Verschiebung in $x$-Richtung als auch eine Verschiebung in $y$-Richtung gleichzeitig durchzuf\u00fchren. Dazu betrachten wir die folgende Parabel.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1110\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch4.png\" alt=\"Verschiebung quadratische Funktionen rechts\" width=\"207\" height=\"238\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch4.png 388w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_versch4-261x300.png 261w\" sizes=\"(max-width: 207px) 100vw, 207px\" \/><\/p>\n<p>Diese Parabel wurde um $2$ Einheiten nach rechts und um $2$ Einheiten nach unten verschoben. Die Funktionsgleichung lautet:\u00a0$f\\left(x\\right)={(x-2)}^2-2$<br \/>\nIn der Klammer erkennen wir die Verschiebung um $2$ Einheiten nach rechts und hinter der Klammer erkennen wir die Verschiebung um $2$ Einheiten nach unten. Eine Funktionsgleichung, welche in der obigen Form vorliegt, wird Scheitelpunktform genannt, da es direkt m\u00f6glich ist die Koordinaten des Scheitelpunktes abzulesen. In unserem Fall also $S(2|-2)$.<\/p>\n<h3>Streckung\/Stauchung<\/h3>\n<p>Wenn wir eine Parabel strecken oder stauchen wollen, m\u00fcssen wir die Funktionen mit einem Faktor $a$ multiplizieren.<br \/>\nAus $f\\left(x\\right)=x^2$ wird dann $f\\left(x\\right)=a\\cdot x^2$. Dabei gelten die folgenden Regeln:<\/p>\n<ul>\n<li>\u00a0$1&lt;a$: Streckung<\/li>\n<li>\u00a0$0&lt;a&lt;1$: Stauchung<\/li>\n<\/ul>\n<p>Der Faktor $a$ gibt also an, ob es sich um eine Streckung oder um eine Stauchung handelt. Der Faktor $a$ befindet sich entweder direkt vor dem $x^2$ oder, falls unsere Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vorliegen sollte, direkt vor der Klammer. Dazu wollen wir uns den folgenden Sachverhalt kurz vor Augen halten.<br \/>\nDie Normalparabel $f\\left(x\\right)=x^2$ hat den Faktor $a=1$. Diesen schreiben wir aus Gr\u00fcnden der mathematischen Faulheit aber nicht hin. Die Normalparabel ist also weder gestreckt noch gestaucht.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1121\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_streckung.png\" alt=\"quadratische Funktionen Streckung\" width=\"219\" height=\"295\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_streckung.png 432w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_streckung-223x300.png 223w\" sizes=\"(max-width: 219px) 100vw, 219px\" \/><br \/>\nEbenso ist unsere Parabel mit der Funktionsgleichung $f\\left(x\\right)={(x-2)}^2-2$ weder gestreckt noch gestaucht, da der Faktor $a$ direkt vor der Klammer ebenfalls den Wert $a=1$ hat.<\/p>\n<p>Eine gestreckte Parabel k\u00f6nnte die folgende Gleichung haben:<\/p>\n<p>\\[g\\left(x\\right)=2{(x-2)}^2-2\\]<\/p>\n<p>Wir erkennen, dass f\u00fcr unseren Faktor $a$ jetzt $a=2$ gilt. Da $a$ gr\u00f6\u00dfer als 1 ist, m\u00fcsste die Parabel gestreckt werden. Dazu betrachten wir die die Funktionen $f(x)={\\left(x-2\\right)}^2-2$ und $g(x)$ in der nebenstehenden Abbildung. Wir sehen, dass unsere Parabel $g$ im Verh\u00e4ltnis zur Parabel $f$ wesentlich schmaler aussieht. Sie ist also gestreckt.<\/p>\n<p>Im Gegensatz dazu wollen wir uns auch eine gestauchte Parabel angucken. Wir betrachten die nachfolgende\u00a0Darstellung.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1122\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_stauchung.png\" alt=\"quadratische Funktionen Stauchung\" width=\"312\" height=\"306\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_stauchung.png 567w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_stauchung-300x295.png 300w\" sizes=\"(max-width: 312px) 100vw, 312px\" \/><br \/>\nDie Funktionsgleichungen unserer beiden Parabeln lauten:<\/p>\n<p>\\[f\\left(x\\right)={(x-2)}^2-2\\] und\u00a0\\[g\\left(x\\right)=0,5{(x-2)}^2-2\\]<\/p>\n<p>Wir sehen, dass unsere Parabel $g$ breiter ist als unsere Parabel $f$. Sie ist also gestaucht.<\/p>\n<h3>Spiegelung an der $x$-Achse<\/h3>\n<p>Wir erkennen eine an der $x$-Achse gespiegelte (nach unten ge\u00f6ffnete) Parabel daran, dass der Faktor $a$ negativ ist. Dazu betrachten wir die folgende Darstellung:<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1124\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_spiegelungx.png\" alt=\"quadratische Funktionen Spiegelung\" width=\"252\" height=\"280\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_spiegelungx.png 484w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_spiegelungx-270x300.png 270w\" sizes=\"(max-width: 252px) 100vw, 252px\" \/><br \/>\nDie Funktionsgleichung unserer Parabel lautet $f\\left(x\\right)=-2{\\left(x-2\\right)}^2-2$. Der Faktor $a$ hat den Wert $a=-2$, er ist also negativ. Insgesamt wurden an dieser Parabel also die folgenden Transformationen durchgef\u00fchrt:<\/p>\n<ul>\n<li>Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts<\/li>\n<li>Verschiebung um 2 Einheiten nach unten<\/li>\n<li>Streckung mit dem Faktor $a=2$<\/li>\n<li>Spiegelung an der $x$-Achse (\u00d6ffnung zeigt nach unten)<\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 id=\"Nullstellen\" class=\"anchor\">Nullstellen einer Parabel<\/h2>\n<p>Die Nullstellen (Schnittpunkte mit der -Achse) kann man mit den in den vorherigen Kapiteln angesprochenen Verfahren herausfinden. Welches Verfahren am ehesten geeignet ist, h\u00e4ngt nat\u00fcrlich davon ab, in welcher Form die Funktionsgleichung angegeben ist. Macht euch an dieser Stelle bitte klar, dass eine Parabel entweder zwei Nullstellen, eine oder eventuell sogar keine Nullstelle besitzt.<\/p>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch die Nullstellen einer Parabel nochmal im Lernvideo.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Nullstellen bei quadratischen Funktionen, Parabeln, Beispiele | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_cIEyY-kE_Rc\"><div id=\"lyte_cIEyY-kE_Rc\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FcIEyY-kE_Rc%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Nullstellen bei quadratischen Funktionen, Parabeln, Beispiele | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/cIEyY-kE_Rc\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FcIEyY-kE_Rc%2F0.jpg\" alt=\"Nullstellen bei quadratischen Funktionen, Parabeln, Beispiele | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"AllgemeineForm\" class=\"anchor\">Allgemeine Form und Scheitelpunktform<\/h2>\n<p>Die Funktionsgleichungen von Parabeln k\u00f6nnen in zwei verschiedenen Formen vorliegen:<\/p>\n<p><strong>Allgemeine Form: <\/strong> $f\\left(x\\right)=a\\cdot x^2+b\\cdot x+c$<br \/>\n<strong>Scheitelpunktform: <\/strong> $f\\left(x\\right)=a\\cdot {\\left(x-d\\right)}^2+e$<\/p>\n<p>Man kann die allgemeine Form in die Scheitelpunktform und die Scheitelpunktform in die allgemeine Form \u00fcberf\u00fchren.<\/p>\n<p><strong>Schau dir das Lernvideo zum Thema Scheitepunkt erkennen an!<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Scheitelpunkt erkennen in langsam, Quadratische Funktionen, Parabeln | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL__GCYDJ3DN-w\"><div id=\"lyte__GCYDJ3DN-w\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F_GCYDJ3DN-w%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Scheitelpunkt erkennen in langsam, Quadratische Funktionen, Parabeln | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/_GCYDJ3DN-w\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F_GCYDJ3DN-w%2F0.jpg\" alt=\"Scheitelpunkt erkennen in langsam, Quadratische Funktionen, Parabeln | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"scheitelpunktform\" class=\"anchor\">Allgemeine Form in Scheitelpunktform<\/h2>\n<p>Wir gehen davon aus, dass wir die folgende Funktionsgleichung vorliegen haben. Im ersten Schritt klammern wir den Faktor $a$ vor dem $x^2$ \u00a0(hier also die 2)\u00a0 aus und erhalten:<\/p>\n<p>\\[f\\left(x\\right)=2x^2+4x-3=2(x^2+2x-1,5)\\]<\/p>\n<p>Als n\u00e4chstes wenden wir die erste binomische Formel auf die ersten drei Summanden an und erhalten:<\/p>\n<p>\\[f\\left(x\\right)=2[{\\left(x+1\\right)}^2-2,5]\\]<\/p>\n<p>Jetzt multiplizieren wir noch den Faktor $a$ mit der konstanten Zahl am Ende der Funktionsgleichung:<\/p>\n<p>\\[f\\left(x\\right)=2{(x+1)}^2-5\\]<\/p>\n<p>Jetzt k\u00f6nnen wir erneut die Koordinaten unseres Scheitelpunkts ablesen: $S\\ (-1|-5)$.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Scheitelform\/Scheitelpunktform erkennen bei quadratischen Funktionen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_i2WDgLldlJc\"><div id=\"lyte_i2WDgLldlJc\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fi2WDgLldlJc%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Scheitelform\/Scheitelpunktform erkennen bei quadratischen Funktionen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/i2WDgLldlJc\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fi2WDgLldlJc%2F0.jpg\" alt=\"Scheitelform\/Scheitelpunktform erkennen bei quadratischen Funktionen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"ScheitelpunktformAllgemeineForm\" class=\"anchor\">Scheitelpunktform in die allgemeine Form umwandeln<\/h2>\n<p>Wir gehen davon aus, dass wir die folgende Funktionsgleichung vorliegen haben:<\/p>\n<p>\\[f\\left(x\\right)=3{(x-2)}^2+5\\]<\/p>\n<p>Als erstes wenden wir die zweite binomische Formel an um die Klammer aufzul\u00f6sen. Denkt daran, dass der Term, der durch die Anwendung der binomischen Formel entsteht, in Klammern gesetzt werden muss.<\/p>\n<p>\\[f\\left(x\\right)=3\\left(x^2-4x+4\\right)+5\\]<\/p>\n<p>Anschlie\u00dfend wird der Klammerausdruck mit dem Faktor $a$ (hier 3) multipliziert.<\/p>\n<p>\\[f\\left(x\\right)=3x^2-12x+12+5\\]<\/p>\n<p>Zum Schluss fassen wir zusammen und erhalten unsere Funktionsgleichung in allgemeiner Form:<\/p>\n<p>\\[f\\left(x\\right)=3x^2-12x+17\\]<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispielaufgabe Quadratische Funktionen<\/h3>\n<p>Der unten abgebildete Graph der Funktion $f(x)=-0,025x^2+2x$ beschreibt die Flugbahn eines Golfballs nach dem Abschlag. Die -Achse gibt die horizontale Entfernung vom Abschlagspunkt an, die -Achse die H\u00f6he des Golfballs.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"alignnone wp-image-4922\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Quadratische-Funktionen-300x274.png\" alt=\"quadratische-funktionen\" width=\"287\" height=\"262\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Quadratische-Funktionen-300x274.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Quadratische-Funktionen-768x702.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Quadratische-Funktionen.png 772w\" sizes=\"(max-width: 287px) 100vw, 287px\" \/><\/p>\n<ol>\n<li>Welche maximale H\u00f6he erreicht der Golfball auf seiner Flugbahn?<\/li>\n<li>In welcher H\u00f6he befindet sich der Golfball bei einer horizontalen Entfernung von 20m?<\/li>\n<li>Wie weit ist der Landepunkt des Golfballs vom Abschlagspunkt entfernt?<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong><\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 1:<\/strong><\/p>\n<p>Die maximale H\u00f6he l\u00e4sst sich bei nach unten ge\u00f6ffneten Parabeln direkt an der y-Koordinate des Scheitelpunkts erkennen. Der Scheitelpunkt unserer Parabel hat die Koordinaten $S(40|40)$. Die maximale H\u00f6he unseres Golfballs betr\u00e4gt demnach $40$.<\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 2:<\/strong><\/p>\n<p>Im ersten Aufgabenteil wurde bereits beschrieben, dass die jeweiligen ?-Koordinaten die H\u00f6he des Golfballs angeben. Wir suchen jetzt nach der H\u00f6he u\u0308ber der $20$-Markierung. Diese l\u00e4sst sich nicht genau direkt am Graphen der Funktion ablesen. Deswegen ben\u00f6tigen wir nun unsere Funktionsvorschrift und setzen den Wert $20$ ein. Wir erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(20)=\u22120,025 \\cdot 20^2+2 \\cdot \u00a020=30<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Der Golfball erreicht eine H\u00f6he von $30$ Metern ab der $20$-Markierung.<\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 3:<\/strong><\/p>\n<p>Der Landepunkt des Golfballs wird durch die rechte Nullstelle unseres Graphen dargestellt. Diese kann man hier problemlos ablesen. Unsere rechte Nullstelle hat die Koordinaten $N_2(80|0)$. Die Entfernung zum Abschlagspunkt betr\u00e4gt also genau $80$.<\/p>\n<p>An dieser Stelle werden wir auf einen alternativen L\u00f6sungsweg eingehen, falls man durch die Aufgabenstellung gezwungen ist, diese rechnerisch bestimmen zu mu\u0308ssen. Zun\u00e4chst setzen wir unsere Funktionsvorschrift gleich 0 und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\u22120,025x^2+2x=0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Diese Gleichung l\u00f6sen wir nun nach $x$ auf, indem wir zun\u00e4chst ein $x$ ausklammern:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx \\cdot (\u22120,025x+2)=0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Jetzt k\u00f6nnen wir den Satz vom Nullprodukt anwenden und erhalten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nx=0 \\vee \u22120,025x+2=0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir erhalten also sofort unsere linke Nullstelle, n\u00e4mlich an der Stelle $0$ im Ursprung. Unsere rechte Nullstelle erhalten wir, indem wir die u\u0308briggebliebene Gleichung nach $x$ aufl\u00f6sen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rrcll}<br \/>\n&amp; \u22120,025 \\cdot x + 2 &amp; =&amp; 0 &amp;|- 2 \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp; \u22120,025 \\cdot x &amp; =&amp; -2 &amp; |:(\u22120,025) \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow &amp; x &amp; =&amp;80 &amp; \\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir erhalten unser erwartetes Ergebnis und haben damit gezeigt, dass der Landepunkt 80 Meter entfernt vom Abschlagspunkt liegt.<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Daniel zeigt dir, wie du die Scheitelpunktform in die allgemeine Form bringst.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Scheitelform auf Normalform durch Ausmultiplizieren,Parabeln,quadratische Fkt.| Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL__rvvZn1zTRc\"><div id=\"lyte__rvvZn1zTRc\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F_rvvZn1zTRc%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Scheitelform auf Normalform durch Ausmultiplizieren,Parabeln,quadratische Fkt.| Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/_rvvZn1zTRc\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F_rvvZn1zTRc%2F0.jpg\" alt=\"Scheitelform auf Normalform durch Ausmultiplizieren,Parabeln,quadratische Fkt.| Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Quadratische-Funktionen.pdf\">Hier Merkzettel zum Thema Quadratische Funktionen herunterladen!<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Du steckst beim Lernen fest und brauchst Hilfe beim Thema &#8222;Quadratische Funktionen&#8220;? In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir alles zu folgenden Themen: Was sind quadratische Funktionen? Nullstellen einer Parabel Allgemeine Form und Scheitelpunktform Allgemeine Form in Scheitelpunktform Scheitelpunktform in die allgemeine Form Schaut euch zu Beginn das Einf\u00fchrungsvideo zu Parabeln und quadratischen Funktionen von Daniel [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":13,"comment_status":"closed","ping_status":"open","template":"","meta":[],"categories":[16],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Quadratische Funktionen einfach erkl\u00e4rt - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Du brauchst Hilfe beim Thema quadratische Funktionen? 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