Allgemeines zum Satz des Pythagoras<\/h2>\n
Der Satz des Pythagoras darf nur in rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden.<\/strong> Dazu betrachten wir die folgende Abbildung: Wir erkennen, dass es sich bei diesem Dreieck um einen rechtwinkliges Dreieck handelt, da wir einen rechten Winkel im Punkt $A$ haben. Als n\u00e4chstes wollen wir die Hypotenuse und die beiden Katheten identifizieren. Die Hypotenuse kann einfach dadurch identifiziert werden, dass sie dem rechten Winkel stets gegen\u00fcber liegt. Gegen\u00fcber unseres rechten Winkels liegt die Seite $a$. Diese ist also unsere Hypotenuse. Folglich m\u00fcssen unsere beiden \u00fcbrig gebliebenen Seiten die Katheten sein, n\u00e4mlich $b$ und $c$.<\/p>\n Nachdem wir also alle Seiten in unserem Dreieck identifiziert haben, gucken wir uns den eigentlichen Satz des Pythagoras an. Er lautet:<\/p>\n \\[{(Kathete)}^2+{(Kathete)}^2={(Hypotenuse)}^2\\]<\/p>\n Auf unser Dreieck bezogen bedeutet das also:<\/p>\n \\[b^2+c^2=a^2\\]<\/p>\n Einige von euch werden jetzt verwirrt sein und sagen, dass der Satz des Pythagoras doch immer $a^2+b^2=c^2$ lautet. Das wird in der Schule auch h\u00e4ufig so beigebracht, ber\u00fccksichtigt aber nicht die Lage des rechten Winkels. Denn wie wir vorhin festgestellt haben, befindet sich die Hypotenuse immer gegen\u00fcber des rechten Winkels. In unserem Dreieck ist $c$ aber nicht die Hypotenuse, sondern $a$.<\/p>\n Macht euch dieses Vorgehen klar und ber\u00fccksichtigt stets die Lage des rechten Winkels und somit auch die Lage der Hypotenuse. Danach k\u00f6nnt ihr den entsprechenden Satz des Pythagoras aufstellen und damit weiter rechnen. Eine 5 m lange Leiter steht in 4 m Entfernung an eine Hauswand gelehnt.<\/p>\n Wir betrachten die\u00a0nachfolgende Skizze. An dieser Stelle noch ein weiterer Hinweis. Merkt euch, dass die Hypotenuse immer die l\u00e4ngste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist. Solltet ihr also gegens\u00e4tzliche L\u00f6sungen herausbekommen, m\u00fcsst ihr euch die Rechnung noch mal angucken. Man kann sowohl gleichschenklige als auch gleichseitige Dreiecke durch die Erg\u00e4nzung der H\u00f6he in zwei deckungsgleiche, rechtwinklige Dreiecke verwandeln. Dazu betrachten wir das folgende, gleichschenklige Dreieck:<\/p>\n Wenn wir jetzt die H\u00f6he der Seite $c$ erg\u00e4nzen, erhalten wir zwei deckungsgleiche Dreiecke, in welchen der Satz des Pythagoras wieder angewendet werden darf. Denkt au\u00dferdem daran, dass die Basis $c$ durch die Erg\u00e4nzung der H\u00f6he in zwei gleich lange Abschnitte unterteilt wird. Au\u00dferdem wird der Winkel $\\gamma $ durch die Erg\u00e4nzung der H\u00f6he ebenfalls halbiert.<\/p>\n In diesem Dreieck gelten also nach dem Satz des Pythagoras die folgenden Zusammenh\u00e4nge:<\/p>\n $h^2+{\\left(\\frac{c}{2}\\right)}^2=a^2\\ \\ \\ \u00a0$und $\\ \\ \\ h^2+{\\left(\\frac{c}{2}\\right)}^2=b^2$<\/p>\n Die Anwendung im gleichseitigen Dreieck funktioniert nach dem gleichen Schema. Der einzige Unterschied ist lediglich die Tatsache, dass alle Seiten gleich lang und alle drei Winkel gleich gro\u00df sind ($60{}^\\circ $).<\/p>\n![\"bil_pythagoras\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_pythagoras.png\")
<\/p>\n
\n\u00dcbungsaufgabe<\/h3>\n
\n
![\"bil_pythagoras_bsp\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_pythagoras_bsp.png\")
\nDie Seite $a$ repr\u00e4sentiert unsere $5\\ m$\u00a0lange Leiter. Die Entfernung zur Hauswand betr\u00e4gt $c=4\\ m$. In diesem Dreieck gilt also:
\n\\[b^2+(4m)^2=(5m)^2\\]
\nDiese Gleichung werden wir jetzt nach $b$ aufl\u00f6sen, um die H\u00f6he unserer Hauswand zu bestimmen:
\n\\[b^2+(4m)^2=(5m)^2 |-(4m)^2\\]
\n\\[b^2=(5m)^2{-\\ (4m)}^2\\]
\n$5m^2{-\\ 4m}^2$ rechnen wir einfach aus und erhalten:
\n\\[b^2=25m^2-16m^2\\]
\n\\[b^2=9m^2\\]
\nZum Schluss ziehen wir noch die Wurzel:
\n\\[b^2=9m^2 |\\sqrt{}\\]
\n\\[b=\\pm 3m\\]
\nIn unserem Kontext macht die negative L\u00f6sung nat\u00fcrlich keinen Sinn. Eine Hauswand kann selbstverst\u00e4ndlich nicht $-3\\ m$ hoch sein. Also lautet die L\u00f6sung f\u00fcr die H\u00f6he unserer Hauswand $b=3\\ m$.<\/p>\n
\n<\/div>\n\nDer Satz des Pythagoras im gleichschenkligen und im gleichseitigen Dreieck<\/h2>\n
![\"bil_pythagoras1\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_pythagoras1.png\")
\nDie beiden sogenannten Schenkel $a$ und $b$ sind gleich lang. Au\u00dferdem sind die beiden Basiswinkel $\\alpha $ und $\\beta $ gleich gro\u00df. Die Seite $c$ ist die Basis.<\/p>\n![\"bil_pythagoras2\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_pythagoras2.png\")
<\/p>\n![\"Satz](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FcIzM2XBduuY%2F0.jpg\")
![\"bil_kathetensatz\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_kathetensatz-300x178.png\")
![\"Höhensatz,](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FujUCsWMjH9Y%2F0.jpg\")