{"id":952,"date":"2016-02-10T09:32:13","date_gmt":"2016-02-10T08:32:13","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=952"},"modified":"2024-02-13T07:24:26","modified_gmt":"2024-02-13T06:24:26","slug":"exponentielles-wachstum","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/exponentielles-wachstum\/","title":{"rendered":"Exponentielles Wachstum"},"content":{"rendered":"\n<ul>\n<li><a href=\"#exponentielles-wachstum\">Exponentielles Wachstum<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#exponentielle-abnahme\">Exponentielle Abnahme<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#zinseszins\">Zinsenszinsen als Sonderfall des exponentiellen Wachstums<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#beispiele\">Beispielaufgaben<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>Bei der Exponentialfunktion steht die Variable $x$ oder manchmal auch $n$ im Exponenten. Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nf\\left(x\\right)=c\\cdot a^x\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">oder<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf\\left(n\\right)=c\\cdot a^n\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Eine Exponentialfunktion kann sowohl einen Wachstums- als auch Abnahmeprozess beschreiben. Die folgenden Zusammenh\u00e4nge tauchen beim Thema Exponentialfunktion immer wieder auf:<\/p>\n<ul>\n<li>Bakterienwachstum<\/li>\n<li>Bev\u00f6lkerungswachstum<\/li>\n<li>Halbwertszeiten von radioaktiven Stoffen<\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 id=\"exponentielles-wachstum\" class=\"anchor\">Exponentielles Wachstum<\/h2>\n<p>Wir werden uns jetzt am folgenden Beispiel klar machen, welche Bedeutung die einzelnen Variablen innerhalb einer Exponentialfunktion haben. Dazu wollen wir uns das folgende Beispiel angucken:<\/p>\n<p>Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich 100 Bakterien in einer Bakterienkultur. Diese Bakterien vermehren sich st\u00fcndlich um 5%. Wie viele Bakterien sind nach f\u00fcnf Stunden in der Bakterienkultur vorhanden?<\/p>\n<p>Wir betrachten noch einmal unsere allgemeine Funktionsgleichung und ordnen die einzelnen Werte zu.<\/p>\n<p>Das $f(x)$ steht f\u00fcr die Anzahl nach $x$ Stunden, Minuten, Tagen, Jahren oder was auch immer gerade in der Aufgabe f\u00fcr eine Zeiteinheit angegeben ist. Bei unserer Aufgabe handelt es sich um Stunden, da wir wissen, dass sich die Bakterien st\u00fcndlich vermehren.<\/p>\n<p>Das \u00a0ist der sogenannte Anfangsbestand oder manchmal auch Startwert. In unserem Beispiel befinden sich zu Anfang 100 Bakterien in der Bakterienkultur, also gilt $c=100$. Das $a$ ist unser Wachstums- oder Abnahmefaktor. Bei unserem Beispiel vermehren sich die Bakterien, also handelt es sich um ein exponentielles Wachstum. Wir m\u00fcssen also noch den Wachstumsfaktor berechnen.<\/p>\n<p>Grunds\u00e4tzlich gilt bei exponentiellem Wachstum:<br \/>\n\\[a=1+\\frac{p}{100}\\]<\/p>\n<p>In unserem Fall gilt $p=5$, da sich unsere Bakterien st\u00fcndlich um $5\\%$ vermehren. Also ist unser Wachstumsfaktor $a=1+\\frac{5}{100}=1,05$. Zum Schluss ben\u00f6tigen wir noch unser $x$. Wir sollen berechnen wie viele Bakterien nach f\u00fcnf Stunden vorhanden sind, also gilt $x=5$. Abschlie\u00dfend setzen wir alles in unsere Funktionsgleichung ein und erhalten:<\/p>\n<p>\\[f\\left(5\\right)=100\\cdot\u00a0{1,05}^5\\approx 127,63\\]<\/p>\n<p>In unserer Bakterienkultur befinden sich f\u00fcnf Stunden nach Beobachtungsbeginn circa $127$ Bakterien. Da es nur Bakterien (oder auch Menschen und andere Lebewesen) im Ganzen geben kann, wird das Ergebnis nicht wie sonst \u00fcblich aufgerundet, sondern man l\u00e4sst die Nachkommastellen einfach weg.<\/p>\n<p>Eine weitere Frage in diesem Zusammenhang k\u00f6nnte lauten: <strong>Nach wie vielen Stunden sind erstmalig 200 Bakterien in der Bakterienkultur vorhanden?<\/strong><\/p>\n<p>Unser Startwert ist wieder $c=100.$ Unser Wachstumsfaktor bleibt ebenfalls gleich, n\u00e4mlich $a=1,05$. F\u00fcr unser $f(x)$ gilt: $f\\left(x\\right)=200$. Wir suchen also nach unserem $x$. In diesem Fall m\u00fcsst ihr ausprobieren, wann erstmalig die Grenze von $200$ Bakterien \u00fcberschritten wird. Wir \u00fcberpr\u00fcfen die Bakterienanzahl zu Beginn f\u00fcr $x=8$, also nach $8$ Stunden:<br \/>\n\\[f\\left(8\\right)=100\\cdot {1,05}^8\\approx 147,75\\]<br \/>\nWir haben also noch nicht die erforderliche Anzahl erreicht. Als n\u00e4chstes \u00fcberpr\u00fcfen wir einen weiteren Wert:<br \/>\n\\[f\\left(14\\right)=100\\cdot {1,05}^{14}\\approx 197,99\\]<br \/>\nNach $14$ Stunden befinden sich also noch nicht ganz $200$ Bakterien in unserer Kultur.<br \/>\nDeswegen \u00fcberpr\u00fcfen wir jetzt noch $f(15)$:<br \/>\n\\[f\\left(15\\right)=100\\cdot {1,05}^{15}\\approx 207,89\\]<\/p>\n<p>Wir sehen, dass sich zwischen 14 und 15 Stunden erstmalig mehr als 200 Bakterien in der Bakterienkultur befinden.<\/p>\n<p><strong>Alternativer L\u00f6sungsweg mit dem Logarithmus<\/strong><\/p>\n<p>Eine weitere M\u00f6glichkeit diese Aufgabe zu l\u00f6sen, bietet der Logarithmus. Der Vorteil ist, dass wir nicht ausprobieren m\u00fcssen, sondern sofort ein korrektes Ergebnis erhalten. Zun\u00e4chst stellen wir wieder unsere Gleichung auf:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rcrcll}<br \/>\nf(x) &amp; = &amp; 100 \\cdot 1{,}05^x &amp; = &amp; 200 &amp; \\\\<br \/>\n&amp; \\Rightarrow &amp; 100 \\cdot 1{,}05^x &amp; = &amp; 200 &amp; | \\div 100 \\\\<br \/>\n&amp; &amp; 1{,}05^x &amp; = &amp; 2 &amp;<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nJetzt k\u00f6nnen wir die Logarithmusdefinition anwenden und erhalten:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n1{,}05^x = 2 \\Leftrightarrow \\log_{1{,}05} (2) = x<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nNach Eingabe in den Taschenrechner wissen wir, dass die Bakterienkultur erstmalig 200 Bakterien betr\u00e4gt:\\begin{align*} x \\approx{14,21} \\ \\text{Stunden}.\\end{align*}<\/p>\n<p>Ein weiterer L\u00f6sungsweg sieht wie folgt aus:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{rcll}<br \/>\n100 \\cdot 1{,}05^x &amp; = &amp; 200 &amp; | \\div 100 \\\\<br \/>\n1{,}05^x &amp; = &amp; 2 &amp; |\\ \\text{Die Gleichung wird auf beiden Seiten logarithmiert} \\\\<br \/>\n\\log(1{,}05^x) &amp;=&amp; \\log(2) &amp; |\\ \\text{Anwendung 3. Logarithmusgesetz} \\\\<br \/>\nx \\cdot \\log(1{,}05) &amp; = &amp; \\log(2) &amp; |\\div \\log(1{,}05) \\\\<br \/>\nx &amp; =&amp; \\dfrac{ \\log(2)}{\\log(1{,}05)} &amp; \\\\<br \/>\nx &amp; \\approx &amp; 14{,}21 \\ \\text{Stunden} &amp;<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nDie L\u00f6sung mittels Logarithmus liefert ein sehr viel genaueres Ergebnis als die L\u00f6sung mittels Ausprobieren.<\/p>\n<p><strong>Schau dir zum Wiederholen Daniels Lernvideo zum Thema exponentielles Wachstum an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Lineares und Exponentielles Wachstum, &Uuml;bersicht, Unterschiede, Exponentialfunktionen\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_mf4QfGCBHQQ\"><div id=\"lyte_mf4QfGCBHQQ\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fmf4QfGCBHQQ%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Lineares und Exponentielles Wachstum, \u00dcbersicht, Unterschiede, Exponentialfunktionen<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/mf4QfGCBHQQ\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fmf4QfGCBHQQ%2F0.jpg\" alt=\"Lineares und Exponentielles Wachstum, &Uuml;bersicht, Unterschiede, Exponentialfunktionen\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"exponentielle-abnahme\" class=\"anchor\">Exponentielle Abnahme<\/h2>\n<p>Als n\u00e4chstes betrachten wir eine Aufgabe, bei welcher es sich um eine exponentielle Abnahme handelt. Dazu gucken wir uns das folgende Beispiel an:<\/p>\n<p>Der radioaktive Stoff Illusorium halbiert seinen Anfangsbestand j\u00e4hrlich. Wie viel Gramm sind nach sieben Jahren noch vorhanden, wenn zu Beginn 200 g vorhanden sind?<br \/>\nEs handelt sich jetzt also um eine exponentielle Abnahme. Hier m\u00fcssen wir bei der Berechnung unseres Abnahmefaktors wie folgt vorgehen:<br \/>\n\\[a=1-\\frac{p}{100}\\]<br \/>\nWenn ein bestimmter Stoff seinen Anfangsbestand in einem gewissen Zeitraum halbiert, bedeutet das, dass hinterher noch 50% vorhanden sind. Deswegen rechnen wir:<br \/>\n\\[a=1-\\frac{50}{100}=0,5\\]<br \/>\nUnser Abnahmefaktor betr\u00e4gt also $a=0,5$. Wir setzen wieder alle uns bekannten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten:<br \/>\n\\[f\\left(7\\right)=200\\cdot {0,5}^7\\approx 1,5625\\]<br \/>\nNach sieben Jahren sind also noch 1,5625 g vorhanden.<\/p>\n<p>Macht euch, bevor ihr anfangt zu rechnen, also klar, ob es sich um eine exponentielle Abnahme oder um exponentielles Wachstum handelt.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Exponentieller Zerfall, exponentielle Abnahme, Zerfallsfaktor, Exponentialfunktionen\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_v_M6SWoVMFQ\"><div id=\"lyte_v_M6SWoVMFQ\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fv_M6SWoVMFQ%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Exponentieller Zerfall, exponentielle Abnahme, Zerfallsfaktor, Exponentialfunktionen<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/v_M6SWoVMFQ\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fv_M6SWoVMFQ%2F0.jpg\" alt=\"Exponentieller Zerfall, exponentielle Abnahme, Zerfallsfaktor, Exponentialfunktionen\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"zinseszins\" class=\"anchor\">Zinsenszinsen als Sonderfall des exponentiellen Wachstums<\/h2>\n<p>Bei der Berechnung von Zinseszinsen handelt es sich ebenfalls um exponentielles Wachstum.\u00a0Insbesondere bei der Berechnung von Finanzen spielt die Zinseszinsberechnung eine bedeutende Rolle. Diese Art der Berechnung brauchst du zum Beispiel, wenn du sp\u00e4ter <a href=\"https:\/\/www.wings.hs-wismar.de\/de\/fernstudium_bachelor\/betriebswirtschaft_online\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">BWL studieren<\/a> willst. Auch bei einer kaufm\u00e4nnischen Ausbildung wirst du diese Berechnung oft verwenden. In der Schule wird h\u00e4ufig die folgende allgemeine Funktionsgleichung verwendet:<br \/>\n\\[K\\left(n\\right)=K_0\\cdot q^n\\]<\/p>\n<p>Grunds\u00e4tzlich verh\u00e4lt sich alles genau so wie bei anderen Aufgaben zum exponentiellen Wachstum auch. Das $K\\left(n\\right)$ ist gleichbedeutend mit $f(x)$. $K_0$ repr\u00e4sentiert unseren Startwert $c$ und $q$ ist unser Wachstumsfaktor $a$. Das $n$ steht f\u00fcr die Anzahl der Jahre, da wir es bei den Zinseszinsen mit Laufzeiten zu tun haben, welche gr\u00f6\u00dfer als ein Jahr sind.<\/p>\n<p>Man kann die Zinseszinsformel sowohl nach $K_0$ als auch nach $q$ umstellen und erh\u00e4lt dann:<br \/>\n$K_0=\\frac{K(n)}{q^n}$ und $q=\\sqrt[n]{\\frac{K(n)}{K_0}}$<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispielaufgabe zum Zinssatz:<\/h3>\n<p>Frau Meyer legt 2000 \u20ac zu einem Zinssatz von $2\\%$ an.<\/p>\n<ol>\n<li>Wie hoch ist ihr Kapital nach drei Jahren? Das Anfangskapital betr\u00e4gt $K_0=2000$ \u20ac und der Wachstumsfaktor lautet $q=1+\\frac{2}{100}=1,02$. Au\u00dferdem ist die Laufzeit $n=3$. Wir setzen ein und erhalten:\\[K\\left(3\\right)=2000\\cdot {1,02}^3\\approx 2122,42 \\]Das Kapital von Frau Meyer betr\u00e4gt nach drei Jahren 2122,42\u00a0\u20ac.<\/li>\n<li>Wie viel Euro m\u00fcsste sie anlegen um bei gleichem Zinssatz nach f\u00fcnf Jahren \u00fcber 3000 \u20ac verf\u00fcgen zu k\u00f6nnen?Wir suchen also bei dieser Aufgabe unser $K_0$ und benutzen die entsprechende Formel:<br \/>\n\\[K_0=\\frac{K(n)}{q^n}=\\frac{3000}{{1,02}^5}\\approx 2717,19\\]Sie m\u00fc}sste also circa 2717,19\u00a0\u20acanlegen, um nach 5 Jahren 3000 \u20ac\u0080 auf dem Konto zu haben.<\/li>\n<li>Bei welchem Zinssatz w\u00fcrde ihr Kapital von 2000 \u20ac innerhalb von zehn Jahren auf $2500\u00a0\u20ac$ anwachsen?<\/li>\n<\/ol>\n<p>In diesem Fall suchen wir unseren Zinssatz und nehmen zuerst die Formel zur Berechnung von $q$:<\/p>\n<p>\\[q=\\sqrt[n]{\\frac{K(n)}{K_0}}=\\sqrt[{10}]{\\frac{2500}{2000}}\\approx 1,023\\]<\/p>\n<p>F\u00fcr den Wachstumsfaktor gilt also $q\\approx 1,023$. Das ist jedoch noch nicht unser Zinssatz. Um diesen herauszufinden, m\u00fcssen wir die Formel zur Bestimmung des Wachstumsfaktors nach dem Zinssatz $p$ umstellen.<\/p>\n<p>\\[p=(q-1)\\cdot 100\\]<br \/>\nWir setzen ein und erhalten abschlie\u00dfend:<\/p>\n<p>\\[p=\\left(q-1\\right)\\cdot\u00a0100=\\left(1,023-1\\right)\\cdot\u00a0100=2,3\\%\\]<br \/>\nDer Zinssatz betr\u00e4gt $2,3\\%$.<br \/>\n<\/div>\n<\/p>\n<h2 id=\"beispiele\" class=\"anchor\">Weitere Beispielaufgaben<\/h2>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispielaufgabe 1 &#8211; Exponentielles Wachstum<\/h3>\n<p>Ein Virus hat bereits Menschen befallen. Diese Zahl w\u00e4chst t\u00e4glich um 1,5%.<\/p>\n<ol>\n<li>Gib den t\u00e4glichen Wachstumsfaktor an.<\/li>\n<li>Berechne wie viele Menschen in vier und f\u00fcnf Tagen befallen sind.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>L\u00f6sungen:<\/strong><\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 1:<\/strong><\/p>\n<p>Beim exponentiellen Wachstum m\u00fcssen wir zwischen zwei zentralen Begriffen unterscheiden, zum einen gibt es die Wachstumsrate und zum anderen gibt es den Wachstumsfaktor. Die Anzahl unserer Viren w\u00e4chst t\u00e4glich um $1,5%$. Das entspricht einer Wachstumsrate von $a=0,015$. Der dazugeh\u00f6rige Wachstumsfaktor kann mit der folgenden Formel berechnet werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nq = 1 + p \\\\<br \/>\nq = 1 + 0,015 = 1,015 \\\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 2:<\/strong><\/p>\n<p>Wir stellen zuerst eine Funktionsvorschrift auf, welche den Wachstumsprozess unserer Viren allgemein beschreibt. Grunds\u00e4tzlich gilt f\u00fcr Exponentialfunktionen die folgende Form:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)=c\\cdot a^x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$c$ beschreibt unseren Startwert, $a$ ist der Wachstumsfaktor und $x$ steht f\u00fcr die Anzahl der Zeiteinheiten. Bezogen auf unsere konkrete Aufgabe erhalten wir die folgende Vorschrift:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)=200\\cdot1,015^x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Um die Anzahl der befallenen Menschen nach vier Tagen zu berechnen, setzen wir $4$ in unsere Funktionsvorschrift ein:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(4)=200\\cdot1,015^4 \\approx 215<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Nach 5 Tagen sind circa 215 Menschen befallen.<\/p>\n<\/div><br \/>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispielaufgabe 2 &#8211; Exponentielles Wachstum<\/h3>\n<p>Auf einem Teich befinden sich zu Beobachtungsbeginn drei Seerosen. Die Anzahl der Seerosen verdoppelt sich w\u00f6chentlich.<\/p>\n<ul>\n<li>1) Stelle eine geeignete Funktionsgleichung zum oben aufgef\u00fchrten Sachverhalt auf.<\/li>\n<li>2) Wie viele Seerosen befinden sich nach f\u00fcnf Tagen auf der Oberfl\u00e4che des Teiches?<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Gr\u00f6\u00dfe einer Seerose betr\u00e4gt durchschnittlich $50cm^2$ . Der Teich hat eine Gr\u00f6\u00dfe von $25m^2$.<\/p>\n<ul>\n<li>3) Wie viele Seerosen passen theoretisch auf die Oberfl\u00e4che des Teiches?<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>L\u00f6sungen:<\/strong><\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 1:<\/strong><\/p>\n<p>Es handelt sich bei der Aufgabe um eine Aufgabe zum Thema exponentielles Wachstum. Es wird also eine Exponentialfunktion gesucht. Allgemein gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n?(?)=c \\cdot a^x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Im vorliegenden Fall lautet die Funktionsgleichung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n?(?)=3 \\cdot 2^x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 2:<\/strong><\/p>\n<p>Um berechnen zu k\u00f6nnen wie viele Seerosen sich nach f\u00fcnf Tagen auf der Teichoberfl\u00e4che befinden, muss dieser Wert in die eben aufgestellte Funktionsgleichung eingesetzte werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n?(5)=3 \\cdot 2^5=96<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 3:<\/strong><\/p>\n<p>Die Gr\u00f6\u00dfe der Seerosen ist in $cm^2$ und die Gr\u00f6\u00dfe des Teiches ist in $m^2$ angegeben. Zuerst muss die Gr\u00f6\u00dfe der Seerosen in ?2 umgewandelt werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n25cm^2=0,25dm^2=0,0025m^2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Gr\u00f6\u00dfe einer Seerose betr\u00e4gt demnach $0,0025m^2$. Jetzt muss die Gr\u00f6\u00dfe des Teiches durch die Gr\u00f6\u00dfe einer Seerose geteilt werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n50m^2 : 0,0025m^2 = 20000<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Auf die Oberfl\u00e4che des Teiches passen theoretisch $20000$ Seerosen.<br \/>\n<\/div>\n<p><strong>Zinsrechnung nochmal verst\u00e4ndlich von Daniel erkl\u00e4rt.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Zinseszins, Grundlagen Basics, Wachstumsfaktor, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_tltdtjt7HgM\"><div id=\"lyte_tltdtjt7HgM\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Ftltdtjt7HgM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Zinseszins, Grundlagen Basics, Wachstumsfaktor, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/tltdtjt7HgM\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Ftltdtjt7HgM%2F0.jpg\" alt=\"Zinseszins, Grundlagen Basics, Wachstumsfaktor, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zum Thema Exponentialfunktion an<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Lineares und Exponentielles Wachstum, &Uuml;bersicht, Unterschiede, Exponentialfunktionen\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_mf4QfGCBHQQ\"><div id=\"lyte_mf4QfGCBHQQ\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fmf4QfGCBHQQ%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Lineares und Exponentielles Wachstum, \u00dcbersicht, Unterschiede, Exponentialfunktionen<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/mf4QfGCBHQQ\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fmf4QfGCBHQQ%2F0.jpg\" alt=\"Lineares und Exponentielles Wachstum, &Uuml;bersicht, Unterschiede, Exponentialfunktionen\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Exponentielles Wachstum Exponentielle Abnahme Zinsenszinsen als Sonderfall des exponentiellen Wachstums Beispielaufgaben Bei der Exponentialfunktion steht die Variable oder manchmal auch im Exponenten. Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet: \\begin{align*} f\\left(x\\right)=c\\cdot a^x\\ \\end{align*} oder \\begin{align*} f\\left(n\\right)=c\\cdot a^n\\ \\end{align*} Eine Exponentialfunktion kann sowohl einen Wachstums- als auch Abnahmeprozess beschreiben. Die folgenden Zusammenh\u00e4nge tauchen beim Thema Exponentialfunktion immer [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":21,"comment_status":"closed","ping_status":"open","template":"","meta":[],"categories":[16],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Exponentielles Wachstum erkl\u00e4rt - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Du willst die Exponentielles Wachstum einfach nicht verstehen? Dann schau dir unsere Erkl\u00e4rungen, Beispiele und Lernvideos an.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/exponentielles-wachstum\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Exponentielles Wachstum erkl\u00e4rt - StudyHelp\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Du willst die Exponentielles Wachstum einfach nicht verstehen? Dann schau dir unsere Erkl\u00e4rungen, Beispiele und Lernvideos an.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/exponentielles-wachstum\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-02-13T06:24:26+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/\",\"name\":\"StudyHelp Online-Lernen\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/exponentielles-wachstum\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/exponentielles-wachstum\/\",\"name\":\"Exponentielles Wachstum erkl\\u00e4rt - StudyHelp\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/#website\"},\"datePublished\":\"2016-02-10T08:32:13+00:00\",\"dateModified\":\"2024-02-13T06:24:26+00:00\",\"description\":\"Du willst die Exponentielles Wachstum einfach nicht verstehen? Dann schau dir unsere Erkl\\u00e4rungen, Beispiele und Lernvideos an.\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/exponentielles-wachstum\/\"]}]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/952"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/users\/5"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=952"}],"version-history":[{"count":41,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/952\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":17762,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/952\/revisions\/17762"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/6291"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=952"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=952"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=952"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}