{"id":954,"date":"2016-02-10T09:32:39","date_gmt":"2016-02-10T08:32:39","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=954"},"modified":"2020-01-30T15:56:39","modified_gmt":"2020-01-30T14:56:39","slug":"trigonometrie","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/trigonometrie\/","title":{"rendered":"Trigonometrie"},"content":{"rendered":"\n<p>Das Thema <strong>Trigonometrie<\/strong> ist euch wahrscheinlich eher bekannt unter dem Namen \u201eSinus, Cosinus und Tangens\u201c. Grunds\u00e4tzlich kann man Sinus, Cosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken anwenden. Wir wollen nun f\u00fcr das unten abgebildete Dreieck die drei Winkelbeziehungen, sin, cos und tan aufstellen. Wir nehmen den Winkel $\\alpha$ als unseren Ausgangspunkt.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1270 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_trigonometrie-300x177.png\" alt=\"Trigonometrie\" width=\"300\" height=\"177\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_trigonometrie-300x177.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_trigonometrie.png 444w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>\\[{\\mathrm{sin} \\mathrm{}\\ }\\mathrm{=}\\frac{\\mathrm{Gegenkathete}}{\\mathrm{Hypotenuse}}\\mathrm{=}\\frac{\\mathrm{a}}{\\mathrm{b}}\\]<br \/>\n\\[{\\mathrm{cos} \\mathrm{ }\\mathrm{=}\\frac{\\mathrm{Ankathete}}{\\mathrm{Hypotenuse}}\\mathrm{=}\\frac{\\mathrm{c}}{\\mathrm{b}}\\ }\\]<br \/>\n\\[{\\mathrm{tan} \\mathrm{ }\\mathrm{=}\\frac{\\mathrm{Gegenkathete}}{\\mathrm{Ankathete}}\\mathrm{=}\\frac{\\mathrm{a}}{\\mathrm{c}}\\ }\\]<br \/>\nVon unserem Winkel $\\alpha $ ausgesehen, ist $a$ die <strong>Gegenkathete<\/strong>, weil sie dem Winkel $\\alpha $<strong> gegen\u00fcber<\/strong> liegt. Die Hypotenuse liegt immer gegen\u00fcber des rechten Winkels, also ist $b$ unsere Hypotenuse.<\/p>\n<p>Von unserem Winkel $\\alpha$ ausgesehen, ist $c$ die Ankathete, weil sie direkt an dem Winkel $\\alpha $ anliegt. Unsere Hypotenuse bleibt weiterhin die Seite $b$.<\/p>\n<p><strong>Kleine \u00dcbersicht zum Thema Trigonometrie von Daniel<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe playlist\" id=\"WYL_PLLTAHuUj-zHgXgsj5jy-qDE41UePZveqr\"><div id=\"lyte_PLLTAHuUj-zHgXgsj5jy-qDE41UePZveqr\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FPLLTAHuUj-zHgXgsj5jy-qDE41UePZveqr%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PLLTAHuUj-zHgXgsj5jy-qDE41UePZveqr\" rel=\"nofollow\"><br \/>Diese Wiedergabeliste auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>Man kann mit Hilfe der drei Winkelbeziehungen sowohl fehlende Seiten als auch fehlende Winkel berechnen. Wir wollen uns dazu die folgende Aufgabe angucken und alle fehlenden Komponenten berechnen.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h2>Beispielaufgabe<\/2><\/p>\n<p>Berechne die fehlenden Seiten und Winkel unter der Voraussetzung, dass die folgenden Angaben vorhanden sind:<br \/>\n\\[b=7cm; \\alpha =13{}^\\circ ; \\gamma =90{}^\\circ \\]<\/p>\n<h3><strong>Herangehensweise:<\/strong><\/h3>\n<p>Zuerst wollen wir eine kleine Skizze erstellen, um uns den Sachverhalt klar zu machen:<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1271 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_trigonometrie1-300x174.png\" alt=\"Beispiel Trigonometrie\" width=\"300\" height=\"174\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_trigonometrie1-300x174.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_trigonometrie1.png 470w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nIn unserer Skizze sehen wir, dass uns die <strong>folgenden Komponenten fehlen<\/strong>: $a$; $c$ und $\\beta $.\u00a0Wir beginnen mit der Berechnung unserer Seite $c$, also der Hypotenuse.<br \/>\n<strong>Es gilt: ${\\mathrm{cos} \\left(13{}^\\circ \\right)=\\frac{7}{c}\\ }$<\/strong><br \/>\nWir multiplizieren auf beiden Seiten der Gleichung mit $c$:<br \/>\n\\[{\\mathrm{cos} \\left(13{}^\\circ \\right)=\\frac{7}{c}\\ } |\\cdot c\\]<br \/>\n\\[{\\mathrm{cos} \\left(13{}^\\circ \\right)\\cdot c=7\\ } |\\ :{\\mathrm{cos} (13{}^\\circ )\\ }\\]<\/p>\n<p>Anschlie\u00dfend teilen wir durch ${\\mathrm{cos} \\left(13{}^\\circ \\right)\\ }$ und erhalten:<br \/>\n\\[c=\\frac{7}{{\\mathrm{cos} (13{}^\\circ )\\ }}\\]<br \/>\n\\[c\\approx 7,18\\ cm\\]<\/p>\n<p>Als n\u00e4chstes berechnen wir unseren Winkel $\\beta $. Daf\u00fcr gilt:<br \/>\n\\[{\\mathrm{sin} \\beta \\ }=\\frac{7}{7,18}\\]<br \/>\nMerkt euch, wenn ihr Winkel berechnen wollt, dass ihr die folgenden Tastenbelegungen eures Taschenrechners benutzen m\u00fcsst: ${sin}^{-1},{cos}^{-1},{tan}^{-1}$.<\/p>\n<p>Also berechnen wir jetzt: $\\beta ={{\\mathrm{sin}}^{-1} (\\frac{7}{7,18})\\ }\\approx 77{}^\\circ $.<\/p>\n<p>Ihr h\u00e4ttet hier auch die M\u00f6glichkeit gehabt, den fehlenden Winkel mit Hilfe des Winkelsummensatzes zu bestimmen: $\\beta =180{}^\\circ -90{}^\\circ -13{}^\\circ =77{}^\\circ $.<\/p>\n<p><strong>Zuletzt wollen wir die fehlende Seite $a$ berechnen:<\/strong><br \/>\n\\[{\\mathrm{sin} (13{}^\\circ )\\ }=\\frac{a}{7,18}\\]<br \/>\nWir multiplizieren auf beiden Seiten der Gleichung mit $7,18$ und erhalten:<br \/>\n\\[{\\mathrm{sin} (13{}^\\circ )\\ }=\\frac{a}{7,18} |\\cdot 7,18\\]<br \/>\n\\[{\\mathrm{sin} (13{}^\\circ )\\cdot 7,18\\ }=a\\]<br \/>\n\\[1,62\\approx a\\]<\/p>\n<h3>N\u00fctzliches:<\/h3>\n<p>An dieser Stelle h\u00e4ttet ihr auch die M\u00f6glichkeit gehabt, die letzte fehlende Seite mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen:<br \/>\n\\[a=\\sqrt{{7,18}^2-7^2}\\approx 1,60\\]<\/p>\n<p>Die Abweichung bei beiden Ergebnissen entsteht durch die vorgenommenen Rundungen.<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Das Thema Trigonometrie ist euch wahrscheinlich eher bekannt unter dem Namen \u201eSinus, Cosinus und Tangens\u201c. 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Inklusive Beispielaufgaben und kostenlosem Erkl\u00e4rvideo.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/trigonometrie\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Trigonometrie: Sinus, Cosinus und Tanges erkl\u00e4rt - StudyHelp\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Trigonometrie (Sin, Cos, Tan, Hypotenuse, Ankathete, Gegenkathete) leicht verst\u00e4ndlich Erkl\u00e4rt. 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