{"id":956,"date":"2016-02-10T09:33:40","date_gmt":"2016-02-10T08:33:40","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=956"},"modified":"2020-01-30T15:57:32","modified_gmt":"2020-01-30T14:57:32","slug":"median-und-mittelwert","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/median-und-mittelwert\/","title":{"rendered":"Median, Mittelwert und H\u00e4ufigkeiten"},"content":{"rendered":"\n<p>In diesem Artikel kl\u00e4ren wir die Begriffe Median, Mittelwert und widmen uns dem Thema H\u00e4ufigkeiten. Du kannst hier zu deinem gew\u00fcnschten Thema navigieren:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#absolute-relative-haeufigkeit\">Absolute und relative H\u00e4ufigkeit<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#median-zentralwert\">Median und Zentralwert<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#diagramme\">Streifen-, S\u00e4ulen- und Kreisdiagramme<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#beispielaufgabe\">Beispielaufgabe<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 class=\"anchor\" id=\"absolute-relative-haeufigkeit\">Absolute und relative H\u00e4ufigkeit<\/h2>\n<p>Wir betrachten die<strong> Notenverteilung bei einer Klassenarbeit<\/strong>. Wir nehmen an, dass die folgenden Noten geschrieben wurden:<\/p>\n<p>\\[2;2;2;3;1;5;6;4;5;3\\]<\/p>\n<p>Bei dieser ungeordneten Darstellung handelt es sich um eine Urliste. Zur besseren \u00dcbersicht werden wir diese Urliste jetzt in einer geordneten Rangliste darstellen:<\/p>\n<p>\\[1;2;2;2;3;3;4;5;5;6\\]<\/p>\n<p>Als n\u00e4chstes wollen wir die absolute H\u00e4ufigkeit der einzelnen Noten herausfinden. Dazu legen wir eine Tabelle an:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1274\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_statistik.png\" alt=\"Absolute H\u00e4ufigkeiten, Median, Mittewert\" width=\"449\" height=\"140\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_statistik.png 674w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_statistik-300x93.png 300w\" sizes=\"(max-width: 449px) 100vw, 449px\" \/><\/p>\n<p>Wir sehen jetzt, dass die Note mangelhaft z.B. zweimal auftaucht. Ihre absolute H\u00e4ufigkeit ist also zwei.<br \/>\n<strong>\\[\\mathrm{relative\\ Haeufigkeit}=\\frac{\\mathrm{absolute\\ Haeufigkeit}}{\\mathrm{Gesamtzahl}}\\]<\/strong><br \/>\nIm n\u00e4chsten Schritt berechnen wir die relative H\u00e4ufigkeit. Grunds\u00e4tzlich gilt zur Berechnung der relativen H\u00e4ufigkeit die folgende Formel:<br \/>\nInsgesamt wurde die Klassenarbeit von 10 Sch\u00fclern mitgeschrieben. Unsere Gesamtanzahl ist also 10.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1275\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_statistik1.png\" alt=\"absolute und relative H\u00e4ufigkeiten\" width=\"544\" height=\"337\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_statistik1.png 683w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_statistik1-300x186.png 300w\" sizes=\"(max-width: 544px) 100vw, 544px\" \/><\/p>\n<p>Es ist also m\u00f6glich, die relative H\u00e4ufigkeit als Bruch, als Dezimalbruch oder in Prozentschreibweise anzugeben. Die relativen H\u00e4ufigkeiten m\u00fcssen in der Summe entweder 100% oder 1 ergeben.<\/p>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch nochmal den Unterschied zwischen absoluter und relativer H\u00e4ufigkeit<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Absolute, relative H&auml;ufigkeit, Statistik, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_kIZ9-mGbuN8\"><div id=\"lyte_kIZ9-mGbuN8\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FkIZ9-mGbuN8%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Absolute, relative H\u00e4ufigkeit, Statistik, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/kIZ9-mGbuN8\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FkIZ9-mGbuN8%2F0.jpg\" alt=\"Absolute, relative H&auml;ufigkeit, Statistik, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2>Arithmetisches Mittel oder Mittelwert<\/h2>\n<p>Bei der Besprechung von Klassenarbeiten wird h\u00e4ufig die Durchschnittsnote mit angegeben. Wir wollen die Durchschnittsnote der vorliegenden Klassenarbeit berechnen. Beim Durchschnitt handelt es sich mathematisch gesehen um das arithmetische Mittel oder den Mittelwert. Bei der Berechnung des arithmetischen Mittels gehen wir wie folgt vor:<br \/>\n\\[\\overline{x}=\\frac{1\\cdot 1+2\\cdot 3+3\\cdot 2+4\\cdot 1+5\\cdot 2+6\\cdot 1}{10}=\\frac{33}{10}=3,3\\]<br \/>\nDer Durchschnitt der Klassenarbeit ist also 3,3.<\/p>\n<p>Ganz allgemein gilt f\u00fcr das arithmetische Mittel die folgende Formel:<\/p>\n<p>\\[\\overline{x}=\\frac{\\mathrm{Summe\\ aller\\ Wert}\\mathrm{e}}{\\mathrm{Anzahl\\ der\\ Werte}}\\]<\/p>\n<p>Ein weiterer wichtiger Wert ist der sogenannte Modus oder Modalwert. Der Modus oder Modalwert ist der Wert, welcher die gr\u00f6\u00dfte absolute H\u00e4ufigkeit hat. In unserem Fall kommt die Note gut am h\u00e4ufigsten vor, n\u00e4mlich drei Mal.<\/p>\n<p>Der Modalwert oder Modus in unserem Beispiel lautet also: $x_M=3$.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Mittelwert, arithmetisches Mittel, Urliste, Rangliste, Statistik | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_B7Ac8UEb7Hc\"><div id=\"lyte_B7Ac8UEb7Hc\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FB7Ac8UEb7Hc%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Mittelwert, arithmetisches Mittel, Urliste, Rangliste, Statistik | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/B7Ac8UEb7Hc\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FB7Ac8UEb7Hc%2F0.jpg\" alt=\"Mittelwert, arithmetisches Mittel, Urliste, Rangliste, Statistik | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"median-zentralwert\">Median und Zentralwert<\/h2>\n<p>Der Median oder auch Zentralwert $\\tilde{x}$ (\u201ex Schlange\u201c), ist der Wert, welcher bei einer geordneten Rangliste in der Mitte steht. Um den Median bestimmen zu k\u00f6nnen, muss also zuerst eine geordnete Rangliste gebildet werden. Wir gehen jetzt davon aus, dass uns die folgende geordnete Rangliste vorliegt:<br \/>\n\\[1,\\ 2,\\ 3,\\ 4,\\ 5\\]<br \/>\nZu Beginn stellen wir fest, dass es sich bei der Anzahl unserer Werte um eine ungerade Anzahl handelt, n\u00e4mlich f\u00fcnf. Man kann auf den ersten Blick sehr gut erkennen, dass die 3 in unserer geordneten Rangliste in der Mitte oder im Zentrum steht.<\/p>\n<p>Der Median ist in diesem Beispiel: $\\tilde{x}=3$<\/p>\n<p>Des Weiteren wollen wir uns angucken wie man den Median bestimmen kann, falls die Anzahl unserer Werte eine gerade Zahl ist. Dazu gucken wir uns die folgende Rangliste an:<br \/>\n\\[1,\\ 2,\\ 3,\\ 4,\\ 5,\\ 6\\]<br \/>\nWenn wir diese Rangliste betrachten, stellen wir sehr schnell fest, dass es keine wirkliche Mitte oder kein wirkliches Zentrum gibt, aus dem wir den Median direkt ablesen k\u00f6nnen. In solchen F\u00e4llen betrachtet ihr die beiden Werte, welche in der Mitte stehen und bildet aus diesen beiden Werten das arithmetische Mittel. In unserem Fall w\u00e4re der Median also der Mittelwert aus den beiden Werten 3 und 4:<br \/>\n\\[\\tilde{x}=\\overline{x}=\\frac{3+4}{2}=\\frac{7}{2}=3,5\\]<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Zentralwert, Median, Wert in der Mitte, Statistik, Daten | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_P8Vk8eLZ_3g\"><div id=\"lyte_P8Vk8eLZ_3g\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FP8Vk8eLZ_3g%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Zentralwert, Median, Wert in der Mitte, Statistik, Daten | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/P8Vk8eLZ_3g\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FP8Vk8eLZ_3g%2F0.jpg\" alt=\"Zentralwert, Median, Wert in der Mitte, Statistik, Daten | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"diagramme\">Streifen-, S\u00e4ulen- und Kreisdiagramme<\/h2>\n<p>Daten k\u00f6nnen durch die Verwendung von unterschiedlichen Diagrammtypen \u00fcbersichtlich dargestellt werden. Dazu wollen wir uns das folgende Beispiel angucken. Wir gehen davon aus, dass ein Unternehmen Tische in verschiedenen Farben produziert. Es produziert hellgraue, mittelgraue und dunkelgraue Tische. Bei der letzten Produktion wurden die folgenden St\u00fcckzahlen in den jeweils unterschiedlichen Farben produziert:<\/p>\n<ul>\n<li>6 hellgraue Tische<\/li>\n<li>3 mittelgraue Tische<\/li>\n<li>3 dunkelgraue Tische<\/li>\n<\/ul>\n<p>Diese Aufteilung wollen wir nun in einem Streifendiagramm darstellen:<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1276\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_diagramme.png\" alt=\"Statistische Diagramme\" width=\"432\" height=\"208\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_diagramme.png 784w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_diagramme-300x145.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_diagramme-768x370.png 768w\" sizes=\"(max-width: 432px) 100vw, 432px\" \/><br \/>\nWir sehen in dem linken Abschnitt die Anzahl der hellgrauen Tische, n\u00e4mlich sechs. Der mittlere Abschnitt zeigt uns die Anzahl der mittelgrauen Tische, n\u00e4mlich drei und der rechte Abschnitt zeigt die Anzahl der dunkelgrauen Tische, ebenfalls drei.<br \/>\nAls n\u00e4chstes wollen wir uns die Darstellung in einem S\u00e4ulendiagramm (Balkendiagramm) veranschaulichen.<br \/>\nHier werden die unterschiedlichen Anteile in voneinander getrennten S\u00e4ulen dargestellt. Die $y$-Achse zeigt die verschiedenen Anteile.<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1277\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_diagramme1.png\" alt=\"Diagramme Statistik\" width=\"331\" height=\"186\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_diagramme1.png 331w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_diagramme1-300x169.png 300w\" sizes=\"(max-width: 331px) 100vw, 331px\" \/><br \/>\nZum Schluss wollen wir uns die Darstellung in einem Kreisdiagramm angucken:<br \/>\nBei einem Kreisdiagramm werden die unterschiedlichen Sektoren nach der jeweiligen Gr\u00f6\u00dfe des Winkels eingeteilt. Um die einzelnen Winkelgr\u00f6\u00dfen zu berechnen, werden die jeweiligen Sektoren als Anteile von einem ganzen Kreis ($360^\\circ$) gesehen. Die folgenden Berechnungen liegen bei unserem Kreisdiagramm zu Grunde:<\/p>\n<ul>\n<li>hellgrau:\u00a0$\\frac{6}{12}\\cdot 360{}^\\circ =180{}^\\circ $<\/li>\n<li>mittelgrau:\u00a0$\\frac{3}{12}\\cdot 360{}^\\circ =90{}^\\circ $<\/li>\n<li>dunkelgrau:\u00a0$\\frac{3}{12}\\cdot 360{}^\\circ =90{}^\\circ $<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1278\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_diagramme2.png\" alt=\"Statistik Kreisdiagramm\" width=\"134\" height=\"142\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"beispielaufgabe\">Beispielaufgabe<\/h2>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispielaufgabe Arithmetisches Mittel<\/h3>\n<p>Beim 100 m-Lauf haben die L\u00e4uferinnen und L\u00e4ufer die folgenden Zeiten erreicht:<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"alignnone size-medium wp-image-4935\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Arithmetisches-Mittel-300x163.png\" alt=\"arithmetisches-mittel\" width=\"300\" height=\"163\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Arithmetisches-Mittel-300x163.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Arithmetisches-Mittel.png 456w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Bestimme das arithmetische Mittel (Mittelwert oder Durchschnitt) und den Median.<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sung<\/strong><\/p>\n<p>Das <strong>arithmetische Mittel<\/strong> wird bestimmt, indem man alle auftauchenden Werte addiert und anschlie\u00dfend durch die Anzahl der auftauchenden Werte teilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overline{x}= \\dfrac{11,21+12,54+11,76+12,32+11,91+11,99}{6} = 11,955<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Bevor der <strong>Median<\/strong> (auch Zentralwert genannt) bestimmt werden kann, mu\u0308ssen erst alle Werte in einer Rangliste sortiert werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n11,21 \\quad 11,76 \\quad 11,91 \\quad 11,99 \\quad 12,32 \\quad 12,54<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Anzahl der Daten ist gerade, n\u00e4mlich sechs. In diesem Fall werden die beiden Werte, welche in der Mitte (oder im Zentrum) stehen addiert und anschlie\u00dfend durch zwei geteilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overline{x}= \\dfrac{11,91+11,99}{2} = 11,955<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel kl\u00e4ren wir die Begriffe Median, Mittelwert und widmen uns dem Thema H\u00e4ufigkeiten. Du kannst hier zu deinem gew\u00fcnschten Thema navigieren: Absolute und relative H\u00e4ufigkeit Median und Zentralwert Streifen-, S\u00e4ulen- und Kreisdiagramme Beispielaufgabe Absolute und relative H\u00e4ufigkeit Wir betrachten die Notenverteilung bei einer Klassenarbeit. 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Hier zeigen wir es dir mit Hilfe von Beispielen und Lernvideos!\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/median-und-mittelwert\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Median, Mittelwert und H\u00e4ufigkeiten - StudyHelp\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Du m\u00f6chtest wissen, wie man den Median, Mittelwert und die H\u00e4ufigkeit berechnet? 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