{"id":958,"date":"2016-02-10T09:34:01","date_gmt":"2016-02-10T08:34:01","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/?page_id=958"},"modified":"2023-12-13T15:21:59","modified_gmt":"2023-12-13T14:21:59","slug":"wahrscheinlichkeit","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/wahrscheinlichkeit\/","title":{"rendered":"Wahrscheinlichkeitsrechnung"},"content":{"rendered":"\n<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir dir alles zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dabei gehen wir auf folgenden Unternehmen ein:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#laplace\">LaPlace Wahrscheinlichkeit<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#baumdiagramme\">Baumdiagramme<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#beispielaufgaben\">Beispielaufgaben<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h2 id=\"laplace\" class=\"anchor\">LaPlace Wahrscheinlichkeit<\/h2>\n<p>Zu Beginn wollen wir uns die sogenannte LaPlace-Wahrscheinlichkeit angucken. Bei einem LaPlace-Experiment sind alle m\u00f6glichen Ereignisse gleich wahrscheinlich. Ein typisches LaPlace-Experiment ist zum Beispiel der M\u00fcnzwurf.<\/p>\n<p>Beim M\u00fcnzwurf gibt es zwei m\u00f6gliche Ereignisse, entweder Kopf oder Zahl. Beide Ereignisse sind gleich wahrscheinlich, denn die Wahrscheinlichkeit, dass die Kopfseite nach oben zeigt betr\u00e4gt $P(K)=0,5$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlseite nach oben zeigt betr\u00e4gt ebenfalls $P(Z)=0,5$. Grunds\u00e4tzlich berechnen wir die Wahrscheinlichkeit bei einem LaPlace-Experiment mit der folgenden Formel:<\/p>\n<p>\\[P\\left(E\\right)=\\frac{\\mathrm{Anzahl\\ der\\ guenstigen\\ Ereignisse}}{\\mathrm{Anzahl\\ der\\ moeglichen\\ Ereignisse}}\\]<\/p>\n<p>Ein weiteres typisches LaPlace-Experiment ist das Werfen eines gew\u00f6hnlichen W\u00fcrfels. Hierbei betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr jede der sechs Zahlen auf dem W\u00fcrfel\u00a0$\\frac{1}{6}$.<br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Laplace, Laplaceversuch, Laplaceexperiment, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_ZkfSvfOfOfk\"><div id=\"lyte_ZkfSvfOfOfk\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FZkfSvfOfOfk%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Laplace, Laplaceversuch, Laplaceexperiment, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/ZkfSvfOfOfk\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FZkfSvfOfOfk%2F0.jpg\" alt=\"Laplace, Laplaceversuch, Laplaceexperiment, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"baumdiagramme\" class=\"anchor\">Baumdiagramme (mit und ohne Zur\u00fccklegen)<\/h2>\n<p>Baumdiagramme sind ein einfaches und sehr \u00fcbersichtliches Mittel, mit deren Hilfe Zufallsversuche dargestellt werden k\u00f6nnen. Das wohl klassischste Beispiel, welches mit einem Baumdiagramm dargestellt werden kann, ist der Urnenversuch. Wir wollen uns einen solchen Urnenversuch einmal genau angucken.<\/p>\n<p>Dazu nehmen wir an, dass sich in unserer Urne 2 schwarze und 3 wei\u00dfe Kugeln befinden. Wir m\u00f6chten gerne hintereinander zwei Kugeln aus dieser Urne ziehen und die erste gezogene Kugel nach dem Zug wieder zur\u00fcck in die Urne legen. Wir stellen also fest, dass es sich im jetzigen Fall um einen Zufallsversuch mit Zur\u00fccklegen handelt.<\/p>\n<p>Dieser Zufallsversuch l\u00e4sst sich durch das folgende Baumdiagramm illustrieren:<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1282\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_baumdiagramm.png\" alt=\"baumdiagramm mit Zur\u00fccklegen Wahrscheinlichkeit\" width=\"183\" height=\"256\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_baumdiagramm.png 324w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_baumdiagramm-214x300.png 214w\" sizes=\"(max-width: 183px) 100vw, 183px\" \/><\/p>\n<p>Wir sehen auf der ersten Stufe, welche den ersten Zug darstellt, dass die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen $P\\left(schwarz\\right)=\\frac{2}{5}$ betr\u00e4gt. Es gibt insgesamt f\u00fcnf Kugeln von denen 2 schwarz sind.<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug eine wei\u00dfe Kugel zu ziehen betr\\\u00e4gt $P\\left(\\textrm{weiss}\\right)=\\frac{3}{5}$, denn von unseren insgesamt f\u00fcnf Kugeln sind drei Kugeln wei\u00df.<br \/>\nDa wir unsere erste gezogene Kugel in jedem Fall wieder zur\u00fcck in die Urne legen, \u00e4ndern sich die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug nicht, denn die Voraussetzungen sind wieder die gleichen wie vor dem ersten Zug.<\/p>\n<p><strong>Dazu wollen wir uns die folgenden Fragen angucken und beantworten:<\/strong><\/p>\n<p><strong>a) Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit zwei schwarze Kugeln zu ziehen?<\/strong><\/p>\n<p>Zuerst \u00fcberlegen wir uns welcher Pfad das gefragte Ereignis repr\u00e4sentiert. Wir werfen einen Blick auf unseren Baum und sehen, dass der oberste Pfad von links nach rechts gesehen unser Ereignis schwarz, schwarz darstellt. Wir berechnen unsere Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit der <strong>Pfadmultiplikationsregel<\/strong>.<br \/>\nF\u00fcr unseren Fall:\u00a0$P\\left(schwarz\\mathrel{\\left|\\vphantom{schwarz schwarz}\\right.}schwarz\\right)=$ $\\frac{2}{5}\\cdot \\frac{2}{5}$ $=$ $\\frac{4}{25}$<br \/>\nDie Wahrscheinlichkeit zwei schwarze Kugeln zu ziehen liegt bei 4\/25 bzw. 16%.<\/p>\n<p><strong>b) Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel und eine wei\u00dfe Kugel zu ziehen?<\/strong><\/p>\n<p>Zu diesem Ereignis geh\u00f6ren sowohl der Pfad schwarz &#8211; wei\u00df als auch der Pfad wei\u00df &#8211; schwarz. Wir m\u00fcssen jetzt die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr beide Einzelpfade berechnen und anschlie\u00dfend addieren. Dabei handelt es sich um die sogenannte <strong>Pfadadditionsregel<\/strong>. Also:<br \/>\n\\[P\\left(schwarz\\mathrel{\\left|\\vphantom{schwarz weiss}\\right.}weiss\\right)+P\\left(weiss\\mathrel{\\left|\\vphantom{weiss\u00a0schwarz}\\right.}schwarz\\right)=\\frac{2}{5}\\cdot \\frac{3}{5}+\\frac{3}{5}\\cdot \\frac{2}{5}=\\frac{6}{25}+\\frac{6}{25}=\\frac{12}{25}\\]<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeit sowohl eine schwarze als auch eine wei\u00dfe Kugel zu ziehen betr\u00e4gt demnach 12\/25\u00a0bzw. 48%.<\/p>\n<p><strong>Als n\u00e4chstes<\/strong> wollen wir uns den gleichen Zufallsversuch erneut angucken. Dieses Mal legen wir die Kugel nach dem ersten Zug aber nicht wieder zur\u00fcck in die Urne. Es handelt sich also jetzt um einen Zufallsversuch ohne Zur\u00fccklegen. Auch diesen k\u00f6nnen wir mittels eines Baumdiagrammes darstellen:<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1305\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_baumdiagramm1.png\" alt=\"Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit\" width=\"213\" height=\"301\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_baumdiagramm1.png 318w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/bil_baumdiagramm1-212x300.png 212w\" sizes=\"(max-width: 213px) 100vw, 213px\" \/><\/p>\n<p>Wir sehen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten beim ersten Zug nicht \u00e4ndern, denn die Situation ist zu Beginn genau die Gleiche wie vorher.<br \/>\nAber beim zweiten Zug \u00e4ndern sich die Wahrscheinlichkeiten, denn nach dem ersten Zug ist insgesamt eine Kugel weniger in der Urne. Wir betrachten den Pfad schwarz, schwarz und sehen, dass die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug nur noch 1\/4 betr\u00e4gt.<\/p>\n<p>Denn wie gesagt, es ist insgesamt eine Kugel weniger in der Urne und da wir beim ersten Zug ebenfalls eine schwarze Kugel gezogen haben, ist also eine schwarze Kugel weniger vorhanden. Grunds\u00e4tzlich gelten hier aber dieselben Regeln wie beim Zufallsversuch vorher.<\/p>\n<p>Merkt euch also, dass ihr am Anfang unterscheiden m\u00fcsst, ob es sich um einen Zufallsversuch mit oder ohne Zur\u00fccklegen handelt. Danach k\u00f6nnt ihr den passenden Baum zeichnen und die einzelnen Wahrscheinlichkeiten bestimmen.<\/p>\n<p>Ein reales Anwendungskonzept der Wahrscheinlichkeitsrechnung findet man in klassischen Casinospielen wie Roulette, Blackjack und Poker. Diese Spiele sind hervorragende Beispiele daf\u00fcr, wie das theoretische Konzept der Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Praxis angewendet werden kann. F\u00fcr ein besseres Verst\u00e4ndnis, wie Wahrscheinlichkeiten in Gl\u00fccksspielen berechnet und genutzt werden, empfehlen wir den Artikel <a target=\"_blank\" href=\"https:\/\/www.onlinecasinosdeutschland.de\/die-verblueffende-welt-der-wahrscheinlichkeitsrechnung\/\" rel=\"noopener\">&#8222;Die verbl\u00fcffende Welt der Wahrscheinlichkeitsrechnung&#8220;<\/a> auf <a target=\"_blank\" href=\"http:\/\/onlinecasinosdeutschland.de\/\" rel=\"noopener\">OnlineCasinosDeutschland.de<\/a>.<\/p>\n<h2 id=\"beispielaufgaben\" class=\"anchor\">Beispielaufgaben<\/h2>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beipsielaufgabe 1 &#8211; Wahrscheinlichkeitsrechnung<\/h3>\n<p>Ein weltbekannter Fu\u00dfball-Profi hat bei Elfmetersch\u00fcssen eine Trefferquote von 90%.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Wahrscheinlichkeiten.png\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-4920\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Wahrscheinlichkeiten.png\" alt=\"wahrscheinlichkeiten\" width=\"216\" height=\"321\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Wahrscheinlichkeiten.png 408w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/Wahrscheinlichkeiten-202x300.png 202w\" sizes=\"(max-width: 216px) 100vw, 216px\" \/><\/a><\/p>\n<ol>\n<li>Erg\u00e4nze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.<\/li>\n<li>Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei zwei hintereinander ausgef\u00fchrten Sch\u00fcssen mindestens einen Treffer erzielt?<\/li>\n<li>Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei zwei hintereinander ausgefu\u0308hrten Schu\u0308ssen beide trifft?<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>L\u00f6sungen:<\/strong><\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 1:<\/strong><br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-7667 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/baumdiagramm.png\" alt=\"\" width=\"238\" height=\"314\" \/><\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 2:<\/strong><\/p>\n<p>Bei dieser Teilaufgabe mu\u0308ssen wir dem Wort \u201emindestens\u201c eine besonders gro\u00dfe Bedeutung beimessen. Denn \u201emindestens einen Treffer\u201c bedeutet, dass sowohl ein Treffer als auch zwei Treffer hier fu\u0308r unsere L\u00f6sung in Frage kommen. Wir schauen uns in diesem Zusammenhang unser Baumdiagramm an und sehen, dass alle Pfade auf denen ein oder zwei Treffer erscheinen, Teil unserer L\u00f6sung sind. Anschlie\u00dfend berechnen wir die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten mit Hilfe der sogenannten Pfadmultiplikationsregel:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n?(?;?)=0,9\u22190,9=0,81 \\\\<br \/>\n?(?;??)=0,9\u22190,1=0,09 \\\\<br \/>\n?(??;?)=0,1\u22190,9=0,09 \\\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Letztlich mu\u0308ssen wir nun die drei einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten addieren um auf unsere Gesamtwahrscheinlichkeit zu kommen (Pfadadditionsregel):<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0,81 + 0,09 + 0,09 = 0,99<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeit, dass unser Profi-Fu\u00dfballer bei zwei hintereinander ausgefu\u0308hrten Schu\u0308ssen mindestens einen Treffer erzielt, betr\u00e4gt 99%.<\/p>\n<p><strong>Aufgabenteil 3:<\/strong><\/p>\n<p>Hier m\u00fcssen wir lediglich den oberen Pfad beru\u0308cksichtigen, denn nur dieser geh\u00f6rt zu dem Ereignis, dass zwei Treffer hintereinander erzielt werden (Pfadmultiplikationsregel):<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n?(?;?)=0,9\u22190,9=0,81<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeit, dass unser Profi-Fu\u00dfballer bei zwei Treffer hintereinander erzielt, betr\u00e4gt 81%.<\/p>\n<\/div>\n\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispielaufgabe 2 &#8211; Warscheinlichkeitsrechnung<\/h3>\n<p>In einer Urne befinden sich 6\u00a0schwarze und 4\u00a0wei\u00dfe Kugeln. Es wird zweimal ohne Zur\u00fccklegen gezogen. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit hintereinander zwei wei\u00dfe Kugeln zu ziehen?<\/p>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong><\/p>\n<p>Wichtig: Es ist bei dieser Aufgabe nicht erforderlich, ein vollst\u00e4ndiges Baumdiagramm zu zeichnen, um die richtige L\u00f6sung berechnen zu k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Es befinden sich insgesamt $4$ wei\u00dfe Kugeln in der Urne. Insgesamt befinden sich $4+6=10$ Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug eine wei\u00dfe Kugel zu ziehen betr\u00e4gt demnach $\\frac{4}{10}$. Es wird nicht zuru\u0308ckgelegt, deswegen herrschen vor dem zweiten Zug ver\u00e4nderte Bedingungen. Eine wei\u00dfe Kugel wurde bereits gezogen, deswegen befinden sich zum jetzigen Zeitpunkt insgesamt nur noch 3 wei\u00dfe Kugeln in der Urne. Selbstverst\u00e4ndlich verringert sich auch die Gesamtzahl der Kugeln von $10$ auf $9$ Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug ebenfalls eine wei\u00dfe Kugel zu ziehen betr\u00e4gt also $\\frac{3}{9}$. Jetzt mu\u0308ssen wir nach der Pfadmultiplikationsregel beide Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren: $\\frac{4}{10} \\cdot \\frac{3}{9} = \\frac{2}{15} $. Die Wahrscheinlichkeit hintereinander zwei wei\u00dfe Kugeln zu ziehen betr\u00e4gt $\\frac{2}{15}$<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-7657 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/wahrscheinlichkeitsrechnung.png\" alt=\"\" width=\"333\" height=\"318\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_sKHWxKJkEHQ\"><div id=\"lyte_sKHWxKJkEHQ\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FsKHWxKJkEHQ%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/sKHWxKJkEHQ\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FsKHWxKJkEHQ%2F0.jpg\" alt=\"Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir dir alles zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung. 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