Hypergeometrische Verteilung

Definition Hypergeometrische Verteilung:

Eine Zufallsvariable \(X\) heißt hypergeometrischverteilt, kurz \(X \sim H (n,N,M)\) mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion:

\begin{align*}
P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}
M \\ k
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
N-M \\ n-k
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
N \\ n
\end{pmatrix}}
\end{align*}

Bemerkungen

  • \(N\): Grundgesamtheit
  • \(M\): Elemente, die die Eigenschaft \(A\) besitzen
  • \(N-M\): Elemente, die die Eigenschaft \(A\) nicht besitzen
    \(n\): Zufällige Entnahme ohne Zurücklegen
  • Wichtig: IMMER anwendbar beim „Ziehen ohne Zurücklegen“
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Beispiel Lotto:

  • Grundgesamtheit: \(N=49\) Zahlen
  • Eigenschaft Gewinn: \(M=6\) Zahlen
  • Eigenschaft kein Gewinn: \(N-M=43\) Zahlen
  • Ziehungen: \(n=6\) Zahlen

Daraus ergeben sich folgende Lage- und Streuungsmaße:

  • Erwartungswert: \(\mu=E(X)= n \cdot \frac{M}{N}\)
  • Varianz: \(\sigma^2=V(X)= n \cdot \frac{M}{N} \cdot \left( 1- \frac{M}{N} \right) \cdot \frac{N-n}{N-1}\)

Beispiel Früchtekisten

Eine Lieferung von 80 Kisten, die mit Früchten gefüllt sind, enthalte 40 Kisten mit verdorbenen Früchten. Da eine vollständige Prüfung der Lieferung zu aufwendig ist, haben Abnehmer und Lieferant vereinbart, dass eine Zufallsstichprobe (ohne Zurücklegen) von 10 Kisten der Lieferung entnommen und geprüft wird, um die Anzahl der Kisten mit verdorbenen Früchten zu bestimmen.

Grundlegend muss man herausfinden um welche Verteilung es sich handelt. In der Aufgabenstellung steht, dass die Zufallsstichproben „ohne Zurücklegen“ durchgeführt wird und daraus folgt, dass es sich um die Hypergeometrische Verteilung handeln muss.

\begin{align*}
X \sim H(n,N,M)
\end{align*}

Jetzt muss man die Parameter \(n\), \(N\), \(M\) identifizieren, die man zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für die Hypergeometrische Verteilung benötigt.

  • \(n\): „Wie oft wird gezogen?“ Hier werden 10 Kisten entnommen, daraus folgt \(n=10\).
  • \(N\): Grundgesamtheit, hier \(N = 80\).
  • \(M\): Diese Elemente haben eine gewisse Eigenschaft, hier 40 verdorbene Kiste, hier \(M = 40\).

Folgende Aufgaben sollen bearbeitet werden:

1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für 10 verdorbene Kisten unter der Zufallsstichprobe \(X \sim H (10; 80,40)\) mit \(k=10\).

Es gilt
\begin{align*}
P(X=10)=\frac{\begin{pmatrix}
40 \\ 10
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
80-40 \\ 10-10
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
80 \\ 10
\end{pmatrix}}=0,000512
\end{align*}

2) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 verdorbene Kisten unter der Zufallsstichprobe \(X \sim H (10; 80,40)\) mit \(k \geq 1\).

Es gilt

\begin{align*}
P(X \geq 1) &= 1- P(X<1)= 1-P(X=0) \\
&= 1- \frac{\begin{pmatrix}
40 \\ 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
80-40 \\ 10-0
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
80 \\ 10
\end{pmatrix}}=1-0,000512=0,999485
\end{align*}

3) Bestimme den Erwartungswert und die Varianz.

\begin{align*}
E(X)&=10 \cdot \frac{40}{80} = 5 \\
V(X)&=10 \cdot \frac{40}{80} \cdot \left( 1 – \frac{40}{80} \right) \cdot \frac{80-10}{80-1}=2,22
\end{align*}

Lernvideo zum Thema Hypergeometrische Funktionen von Daniel.

Hypergeometrische Verteilung, Urnenmodell "ohne Zurücklegen" | Mathe by Daniel Jung

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