Die Technische Biegetheorie

Du willst wissen wie du bei der Berechnung von Biegung vorgehen musst? In diesem Artikel geben wir dir Erklärungen zu folgenden Themen:

Mathematik I für Maschinenbauer
Mathematik für Maschinenbauer - Das Buch

Gerade Biegung ohne Normalkraft

\(\rightarrow\) Lastebene = Verformungsebene

Voraussetzungen:

  • \(S_y=0\): \(x\)-Achse durch den Schwerpunkt verläuft
  • \(I_{yz}=0\): Querschnitt hat mindestens eine Symmetrieachse

Formeln:

\begin{align*}
\sigma(x,z)&= \frac{M_y(x)}{I_y} \cdot z \quad \textrm{„Normalspannung“} \\
w“(x) &= – \frac{M_y(x)}{EI_y} \quad \textrm{„Biegelinie“}
\end{align*}

mit \(z\) als maximalen Randfaserabstand und \(E\cdot I_y\) als Biegesteifigkeit.

Lösungsschritte (vgl. Rolf Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, Springer Verlag, 1. Auflage, 2015)

(i) für statisch bestimmte Systeme

a. Statisches System

b. Schnittgrößen mittels Gleichgewicht am geschnittenen System \(\rightarrow\) TM 1, wobei häufig nur \(M_y(x)\) benötigt wird!

c. Querschnittswerte

1. Berechnung der Schwerachse, so dass \(S_y=0\) gilt.

2. Überprüfung, ob mindestens eine Symmetrieachse vorliegt, so dass \(I_{yz}=0\)– Wenn keine Symmetrieachse vorliegt, hat man schiefe Biegung!

3. \(I_y\) berechnen.

d. Normalspannungen: maximale Spannung in Randfläche mit größtem Abstand \(|z|_{max}\)

e. Biegelinie

1. \(M_y(x)\) als Funktion der Koordinate \(x\) für \(n\) Einzelbalken

2. \(2 \cdot n\) Rand- und Übergangsbedingungen für \(w(x)\) und \(\varphi(x)\)

3. Integration der Differentialgleichung \(w“(x)=-\frac{M_y(x)}{EI_y}\)

f. weitere Aufgabenstellungen, z.B. Spannungs-/Verformungsnachweis, Bauteilsicherheit etc.

(iI) für statisch unbestimmte Systeme

a. Statisches System

b. Querschnittswerte

1. Berechnung der Schwerachse, so dass \(S_y=0\) gilt.

2. Überprüfung, ob mindestens eine Symmetrieachse vorliegt, so dass \(I_{yz}=0\)– Wenn keine Symmetrieachse vorliegt, hat man schiefe Biegung!

3. \(I_y\) berechnen.

c. Biegelinie, unter Beachtung von \(4\cdot n\) Rand- und Übergangsbedingungen für \(w(x), \ p(x), \ M_y(x), \ Q_z(x)\) berechnet man für jeden Einzelbalken:

\begin{align*}
EI_y w^{IV}(x)=q_z(x)
\end{align*}

d. weitere Aufgabenstellungen, z.B. \(M_y(x)=-EI_y w“(x), \ \sigma(x,y,z) = \frac{M_y(x)}{I_y} \cdot z\), Dimensionierung etc.

Kochrezept bei Aufgaben zum Biegebalken

Kochrezept bei Aufgaben zum Biegebalken – Technische Mechanik 2

Vorgehen bei statisch unbestimmten Systemen

Biegung – Biegelinie – bei statisch unbestimmten Systemen – Technische Mechanik 2

Mathematische Grundlagen für Studierende
Mathematische Grundlagen für dein Studium

Beispiel Biegung ohne Normalkraft

Balken – Biegelinie – Technische Mechanik 2

Gerade Biegung mit Normalkraft

  • gleichgültig ob statisch bestimmt oder unbestimmt!
  • Vorgehen gemäß jeweiligen Lösungsschritten von oben
  • Resultierende Verschiebungen und Spannungen über Superposition
  • Voraussetzung: \(S_y=0\); \(I_{yz}=0\)

Formeln

1. Normalspannung: \(\sigma(x,z)= \frac{N(x)}{A(x)} + \frac{M_y(x)}{I_y} \cdot z\)

2. Verschiebung: \(EAu'(x)=N(x); \ EI_yw“(x)=M_y(x); \ f=\sqrt{u^2 + w^2}\)

3. Gleichgewicht: \(N'(x)=-n(x); \ M_y“(x)=-q_z(x)\)

Schiefe Biegung

\(\rightarrow\) Lastebene \(\neq\) Verformungsebene

  • Belastung schräg zur Symmetrieachse oder bei unsymmetrischen Querschnitten
  • Auch hier gibt es statisch bestimmte und unbestimmte Systeme!

Insgesamt sind 4 Fälle zu unterscheiden:

1. Koordinatensystem im Schwerpunkt

\(\rightarrow \ S_y=S_z=0\)

\(\bullet\) Normalspannung:

\begin{align*}
\sigma(x,z) &= \frac{N(x)}{A(x)} + \frac{M_y(x) \cdot I_{yz} – M_z (x) \cdot I_y}{\Delta} \cdot y + \frac{M_y(x) \cdot I_{z} – M_z (x) \cdot I_{yz}}{\Delta} \cdot z \\
\textrm{mit} \ \Delta &= I_y \cdot I_z – I_{yz}^2
\end{align*}

\(\bullet\) Verschiebungen:

\begin{align*}
u'(x) &= \frac{N(x)}{EA(x)} \\
w“(x) &= – \frac{M_y(x) \cdot I_z}{E\Delta} + \frac{M_z(x)\cdot I_{yz}}{E \Delta} \\
v“(x) &= – \frac{M_y(x) \cdot I_{yz}}{E\Delta} + \frac{M_z(x)\cdot I_{y}}{E \Delta}
\end{align*}

\(\bullet\) Resultierende Verschiebung: \(f= \sqrt{u^2 + v^2 + w^2}\)

2. Transformation auf Hauptachsen

\(\rightarrow\) In Hauptachsen sind \(I_y, \ I_z\) maximal und \(I_{yz}=0\)

(i) Berechnung der Hauptträgheitsmomente \(I_Y, \ I_Z\) und der Hauptachsen mit den Winkeln \(\alpha_Y^*, \ \alpha_Z^*\)

(ii) Transformation der Momente \(M_y, \ M_z\) und der Koordinaten bestimmter Punkte auf Hauptachsensystem \(Y-Z\).

bil_HA-transformation

\begin{align*}
M_Y &= M_y \cdot \cos \alpha_Y^* + M_z \cdot \sin \alpha_Y^* \\
Y_i &= y_i \cdot \cos \alpha_Y^* + z_i \cdot \sin \alpha_Y^* \\
M_Z &= M_z \cdot \cos \alpha_Y^* – M_y \cdot \sin \alpha_Y^* \\
Z_i &= z_i \cdot \cos \alpha_Y^* – y_i \cdot \sin \alpha_Y^*
\end{align*}

\(\bullet\) Normalspannung: \(\sigma(x,Y,Z)= \frac{N(x)}{A(x)} + \frac{M_Y(x)}{I_Y}\cdot Z -\frac{M_Z(x)}{I_Z}\cdot Y\)

\(\bullet\) Verschiebungen:

\begin{align*}
u'(x) &= \frac{N(x)}{EA(x)} \\
W“(x) &= – \frac{M_Y(x) }{E I_Y} \\
V“(x) &= \frac{M_Z(x)}{E I_Z}
\end{align*}

Fazit: Berechnung der Spannungen und Verschiebungen wesentlich einfacher, wenn man vorher auf die Hauptachsen transformiert!

3. Koordinatenachsen sind gleichzeitig Hauptachsen

\(\rightarrow\) \(S_y=0, \ I_{yz}=0\)

\(\bullet\) Normalspannung: \(\sigma(x,y,z)= \frac{N(x)}{A(x)} + \frac{M_y(x)}{I_y}\cdot z -\frac{M_z(x)}{I_z}\cdot y\)

\(\bullet\) Verschiebungen:

\begin{align*}
u'(x) &= \frac{N(x)}{EA(x)} \\
w“(x) &= – \frac{M_y(x) }{E I_y} \\
v“(x) &= \frac{M_z(x)}{E I_z}
\end{align*}

\(\bullet\) Charakteristische Winkel

\(\bullet\) \(\alpha_M\) \(\rightarrow\) Winkel des resultierenden Momentes. Formel:

\begin{align*}
\tan \alpha_M = \frac{M_z}{ M_y}
\end{align*}

\(\bullet\) \(\alpha_N\) \(\rightarrow\) Winkel der Spannungsnulllinie. Formel:

\begin{align*}
\sigma_x&=0 \\
\Rightarrow \quad z&= \frac{M_z}{M_y} \cdot \frac{I_y}{I_z}\cdot y \\
\Rightarrow \quad \tan \alpha_N&= \frac{z}{y} = \frac{M_z}{M_y} \cdot \frac{I_y}{I_z}\cdot y
\end{align*}

 

4. Gerade Biegung ohne Normalkraft

\(\rightarrow\) \(y-z\)-Hauptachsen im Schwerpunkt; \(N(x)=0, \ S_y=S_z=0, \ I_{yz}=0\)

\(\bullet\) Fall 1: \(M_z(x)=0\) (Vergleich Gerade Biegung)

\begin{align*}
\sigma(x,z)&= \frac{M_y(x)}{I_y} \cdot z \\
w“(x) &= –  \frac{M_y(x)}{EI_y} \\
v(x)&=0
\end{align*}

\(\bullet\) Fall 2: \(M_y(x)=0\)

\begin{align*}
\sigma(x,y)&= -\frac{M_z(x)}{I_z} \cdot y \\
v“(x) &= –  \frac{M_z(x)}{EI_z} \\
w(x)&=0
\end{align*}

Vorgehen bei schiefer Biegung

Vorgehen bei schiefer Biegung – Technische Mechanik 2

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