Einaxial belastete Stäbe

Bei diesen Aufgabentypen ist in der Regel nach Längenänderungen oder Spannungen gefragt. Allgemein gilt: Spannung = Kraft pro Fläche!

Lösungsschritte (vgl. Rolf Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, Springer Verlag, 1. Auflage, 2015)

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(i) für statisch bestimmte Stäbe

  • Statisches System: Idealisierung in \(n\) Stäbe. Zusätzliche Balken werden als starr angenommen.
  • Gleichgewichtsbedingungen aufstellen
  • Spannungen: Für jeden Stab gilt

\begin{align*}
\sigma_i = \frac{N_i}{A_i} \quad \textrm{mit} \quad i=1, \ \dots \ , \ n
\end{align*}

  • Längenänderungen:

\begin{align*}
\Delta l_i = \frac{N_i \cdot l_i}{(EA)_i} + \alpha_{T_i} \cdot \Delta T_i \cdot l_i
\end{align*}

  • Verschiebung von Stabendpunkten

\(\rightarrow\) Grafo-analytisch zur Berücksichtigung der Kompatibilität

  • Weitere Aufgabenstellungen: Spannungs- und Verformungsnachweis, Dimensionierung etc.

z.B.     bil_zugstab_best

\(\rightarrow\) statisch bestimmt, da Auflagerreaktionen über  Gleichgewichtsbedingungen ermittelbar sind!

(ii) für statisch unbestimmte Stäbe

  • Statisches System
  • Gleichgewichtsbedingungen
  • Grad der statischen Unbestimmtheit \(n_s\)
  • Vergleich von Anzahl an Unbekannten mit Gleichgewichtsbedingungen
  • Kompatibilitätsbedingungen

\begin{align*}
\Delta l_i = \frac{N_i \cdot l_i}{(EA)_i} + \alpha_{T_i} \cdot \Delta T_i \cdot l_i
\end{align*}

und \(n_s\) Kompatibilitätsbedingungen mit Hilfe eines Pol- und Verschiebungsplanes, z.B. \(\Delta l_i = 2 \Delta l_k\)

  • Auflösen des Gleichungssystems
  • Weitere Aufgabenstellungen: Spannung, Längenänderung, Verdrehung etc.

z.B.     bil_zugstab_unbest

\(\rightarrow\) statisch bestimmt, da Auflagerreaktionen über  Gleichgewichtsbedingungen ermittelbar sind!

Kompatibilitätsbedingungen für statisch unbestimmte Stäbe

bil_zugstab_kompbed

Aufgabe zu einaxial belasteten Stäben

Gegeben ist nebenstehendes System.

bil_zugstab_bsp

Folgende Aufgaben sind zu erfüllen:

  1. Erstelle ein statisches Ersatzsystem.
  2. Berechne alle Stabkräfte.
  3. Ermittle die Spannungen in allen Stäben.

Bekannt: \(A_1 = A_3 = A_4 = 30 \ \textrm{cm}^2, \ A_2 = 2 A_1, \ E_{1,2} = 210 \ \textrm{GPa},\) \(E_3 = 70 \ \textrm{GPa}, \ E_4 = 100 \ \textrm{GPa}\), \(l=1 \ \textrm{m}, \ \Delta T = 50 \ \textrm{K}\)

Video ähnliches Beispiel einaxial belastete Stäbe mit thermischem Anteil

Stabkräfte bestimmen beim stat. unbest. System mit thermischen Anteil

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