Die Technische Torsionstheorie

bil_torsion

\(\rightarrow\) Belastung \(F\) führt zu einem Torsionsmoment \(M_T(x)\) und folglich zu einer Verdrehung \(\vartheta\) des eingespannten Trägers.

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Einteilung der Torsion

Merkmal Belastung:

  • Reine Torsion \(\rightarrow\) bei Schnittgrößen nur \(M_T(x)=0\)
  • Torsion mit Streckenlast \(\rightarrow\) \(M_T(x) \neq 0\)

Merkmal Theorie zur Verwölbung:

  •  Torsion ohne Wölbbehinderung (St. Venant) \(\rightarrow\) \(u_x(x)\neq 0; \ \sigma_x=0\)
  • Torsion mit Wölbbehinderung \(\rightarrow\) \(u_x(x) =0; \ \sigma_x \neq 0\)

Merkmal Querschnitt:

bil_torsion_profile

Wichtige Formeln zu bestimmten Querschnitten:

Zu ii.: \(I_T=\frac{4\cdot A_m^2}{\Lambda}\) mit \(\Lambda = \oint \frac{ds}{h(s)}= \sum \frac{a_i}{h_i}\)

Zu iii.:  \(\vartheta (x)= \frac{M_T(x)}{G\cdot I_T} = \frac{\tau_{max}}{G\cdot h_{max}}, \ \tau(s)= \frac{M_T}{I_T} \cdot h(s)\), mit \(I_T \stackrel{\sim}{=} \frac{\eta}{3} \cdot \sum a_i \cdot h_i^3\)

bil_torsion_querschnitte

Lösungsschritte (vgl. Rolf Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, Springer Verlag, 1. Auflage, 2015)

(i) für statisch bestimmte Torsionsstäbe

a. statisches System: Aufteilung in \(n\) Bereiche; eintragen von Koordinatensystemen

b. Schnittgrößen

c. Querschnittswerte: \(I_T, \ W_T \ \rightarrow\) Tabelle

d. Schubspannungen: In Abhängigkeit der Querschnittsform

\(\bullet\) Kreis- und Kreisring: \(\tau_{xs}(x,r) = \frac{M_T(x)}{I_T} \cdot r\)

\(\bullet\) Geschl. dünnwandig: \(\tau_{xs}(x,r) = \frac{M_T(x)}{2 \cdot A_m \cdot h(s)}\)

\(\bullet\) Offen dünnwandig: \(\tau_{max} = \frac{M_T(x)}{W_T}\)

\(\bullet\) Bel. Querschnitt: wird meist nicht benötigt.

e. Verdrehung: Integration von

\begin{align*}
\vartheta'(x) = \frac{M_T(x)}{G I_T}
\end{align*}

unter Berücksichtigung von \(1 \cdot n\) Rand- und Übergansbedingungen. Merke: bei reiner Torsion kann die Verdrehung über

\begin{align*}
\Delta \vartheta = \frac{M_T \cdot l}{G I_T}
\end{align*}

berechnet werden.

(ii) für statisch unbestimmte Torsionsstäbe

a. statisches System

b. Querschnittswerte: \(I_T, \ W_T \ \rightarrow\) Tabelle

c. Verdrehungen: Integration für jeden Einzelstab von

\begin{align*}
G  I_T \vartheta'(x) = -m_T(x)
\end{align*}

unter Beachtung von \(2 \cdot n\) Rand- und Übergangsbedingungen

d. Weitere Aufgabenstellungen:

z.B. Momentenverlauf über \(M_T(x) = G I_T \vartheta'(x)\), Schubspannungen in Abh. des Querschnitts (s. oben)

Aufgabe Schubspannung infolge Torsion

Schubspannung infolge von Torsion – offenes und geschlossenes Profil – Technische Mechanik 2

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