Der Mohr’sche Spannungskreis

Wenn es um den Mohr’schen Spannungskreis geht, werden in der Regel folgende Aufgabentypen behandelt:

(i) Ermittlung von Hauptspannungen

(ii) Ermittlung der Spannungen in gedrehten Koordinatensystemen

Gegeben sei der ebene Spannungszustand \(\underline{\underline{\sigma}} = \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{pmatrix}\). Zu den typischen Aufgabentypen schauen wir uns folgende Lösungsschritte an (vgl. Rolf Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, Springer Verlag, 1. Auflage, 2015).

Lösungsschritte zu (i):

bil_mohrsch_kreis

  1. Achsen \(\sigma-\tau\) zeichnen – \(\tau\) positiv nach unten!
  2. Eintragen der Punkte: \(P_x = ( \sigma_x; \ \tau_{xy} )\) und \(P_y = ( \sigma_y; \ -\tau_{xy} )\)
  3. Schnittpunkt der Verbindungslinie \(\overline{P_xP_y}\) mit \(\sigma\)-Achse liefert Kreismittelpunkt \(M\)
  4. Kreis um \(M\) mit Radius \(\overline{MP_x}\) zeichnen
  5. Hauptspannungen \(\sigma_1, \ \sigma_2\) aus Schnittpunkt mit \(\sigma\)-Achse abgreifen
  6. Doppelten Hauptspannungswinkel ablesen \(2\varphi^*\)

Lösungsschritte zu (ii):

bil_mohrsche_lösung2

  1. Verbindungen von \(P_2\) mit \(P_x\) und \(P_y\) legen \(x-y\)-Achsen fest! Richtungssinn von \(x\) beliebig, unter Beachtung eines Rechtssystems folgt der Richtungssinn von \(y\).
  2. Von \(x\)-Achse ausgehend für gegebenen Winkel \(\varphi\) die \(\xi\)-Achse (\xi = Xi) zeichnen
  3. Unter Beachtung des Richtungssinnes folgt die \(\eta\)-Achse (\(\eta\)= Eta)
    \(\rightarrow\) Merke: Aus \(x\) wird Xi und aus \(y\) wird Eta!
  4. Schnittpunkte der \(\xi-\eta\)-Achse mit Kreis legen Punkte \(P_\xi\) und \(P_\eta\) fest
  5. Abgreifen der Spannungen \(P_\xi=(\sigma_\xi , \ \tau_{\xi\eta})\) und \(P_\eta=(\sigma_\eta , \ -\tau_{\xi\eta})\)

Rechnerische Bestimmung:

(i) Hauptnormalspannungen (kurz: Hauptspannungen)

\begin{align*}
1. \ \sigma_1 &= \sigma_{max} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2} \\
2. \ \sigma_2 &= \sigma_{max} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} – \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2} \\
3. \ \tau_{12} &= 0
\end{align*}

\(\rightarrow\) In Hauptspannungsrichtung verschwindet Schubspannung!

  • Winkel der maximalen/minimalen Hauptspannungsrichtung:

\begin{align*}
\tan \varphi_1^* = \frac{\tau_{xy}}{\sigma_1 – \sigma_y} \quad \textrm{und} \quad \varphi_2^*=\varphi_1^*+\frac{\pi}{2}
\end{align*}

bil_mohrsch_hauptspannung

  • Kontrolle über Invarianten:

\begin{align*}
1. \ J_{1\sigma} = \sigma_x + \sigma_y = \sigma_1 + \sigma_2 \\
2. \ J_{2\sigma} = \sigma_x \cdot \sigma_y -\tau_{xy}^2 = \sigma_1 \cdot \sigma_2
\end{align*}

(ii) Hauptschubspannungen

\begin{align*}
&1. \  \sigma_{\xi} ( \tilde{\varphi} )  = \sigma_{\eta} ( \tilde{\varphi} ) = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} = \sigma_M \\
&2. \ \tau_{max/min} = \pm \sqrt{ \left(  \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}} = \pm \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}  =  \pm  \sigma_R
\end{align*}

mit den Winkeln der Hauptschubspannungsachsen:

\begin{align*}
\tilde{\varphi}_1 = \varphi_1^*-\frac{\pi}{4} \quad \textrm{und} \quad \tilde{\varphi}_2 = \varphi_1^*+\frac{\pi}{4}
\end{align*}

bil_mohrsch_schubspannung

Video typische Belastungsfälle beim Mohrschen Spannungskreis

Mohrscher Spannungskreis – typische Belastungsfälle – Technische Mechanik 2

Mathematische Grundlagen für Studierende
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Aufgabe zum Mohr’schen Spannungskreis

Gegeben ist der folgende ebene Spannungszustand \(\underline{\underline{\sigma}} = \begin{pmatrix} 10& -40 \\ -40 & -80 \end{pmatrix}\).

Bestimme zeichnerisch/rechnerisch

  • die Hauptspannungen,
  • die maximale Schubspannung,
  • den Hauptspannungswinkel,
  • die Spannungen für ein um 45° gedrehtes Koordinatensystem.

Welche Vergleichsspannungshypothesen gibt es und in welchen Bereichen finden die jeweiligen Hypothesen Anwendung?

Video Mohrscher Spannungskreis ähnliches Beispiel

Mohrscher Spannungskreis – Hauptspannungen – Technische Mechanik 2

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