Grundlagen

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Mathe Abitur Intensivkurse

Eine kleine Übersicht

Vorzeichen:

  • + und –

Ganze Zahlen:

  • 2, 3, 4, ..

Brüche:

  • \(\frac{3}{4}, \frac{7}{10}\)

Buchstaben:

  • \(a,b,x,…\)

    Kombination:

    • \(-3x+4a\), \(\frac{3}{4}x-2,5\)…

    Potenzen:

    • \(a \cdot a \cdot a = a^3, x \cdot x \cdot x \cdot  x = x^4\)
    • Merke: \(a+a+a=3a\)
    • Merke: \(x^3+x^4\) kann man nicht weiter zusammenfassen!

    Klammern ausmultiplizieren:

    • \(2\cdot(x-3)=2x-6\)
    • \((x-4)^2=x^2-8x+16\) oder \((x-4)(x-4)=x^2-4x-4x+16=x^2-8x+16\)

    Binomische Formeln

    1. \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
    2. \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
    3. \((a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2\)

    Mathe Abitur Lernhefte inkl. Aufgabensammlung
    Mathe Abitur Lernhefte inkl. Aufgaben

    Potenzen und Potenzgesetze

    Erfahrungen besagen, dass ca. 50 % aller Versagensfälle von Klausuren oft auf mangelnde Kenntnisse der Potenzgesetze zurückzuführend sind. Dieses Thema ist also außerordentlich wichtig, da wir mit Hilfe dieser Kenntnisse verschiedenste Ausdrücke umschreiben und gegebenenfalls vereinfachen können.

    Ausgangspunkt:

    Potenzausdruck Grundlagen
    beschreibt die \(n\)-te Potenz von \(x\).

    Im Folgenden sollen die drei fundamentalen Potenzgesetze vorgestellt werden.

    \begin{align*}
    x^m \cdot x^n = x^{m+n}
    x^n \cdot y^n = (xy)^n
    (x^n)^m = x^{n \cdot m}
    \end{align*}

    Zusätzlich sind diese „Ableitungsregeln“ hilfreich:

    \begin{align*}
    & x^{-n}= \frac{1}{x^n}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{x}, \\ \\
    & x^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^n},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}, \\ \\
    & \frac{x^p}{y^p}= \left( \frac{x}{y} \right)^p, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^0 =1, \\ \\
    & \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m\cdot n]{x}
    \end{align*}

    Diese Zusammenhänge müsst ihr nicht auswendig können, aber ihr solltet sie aus den drei Potenzgesetzen ableiten können.
    Hier noch weitere Beispiele zum Umschreiben, die euch das Leben in der Klausur erleichtern werden:

    \begin{align*}
    &\frac{1}{x} = x^{-1}, \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{x^{2}} = x^{-2},\\ \\ 
    &\frac{1}{x{^3}} = x^{-3} \frac{4}{x^{5}} = 4x^{-5}, \ \ \ \ \ \ \ \frac{7}{3x^{3}} = \frac{7}{3}x^{-3} \\ \\
    &\frac{70}{3x^{10}} = \frac{70}{3} x^{-10}, \ \ \ \ \ \ \ \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \\ \\
    &\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x},\ \ \ \ \ \ \ \sqrt[8]{x^3} = x^{\frac{3}{8}} \\ \\
    &\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}},\ \ \ \ \ \ \ \sqrt[7]{x^{5}} = x^{\frac{5}{7}}
    \end{align*}

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    Kombination der Techniken

    Bei dem Ausdruck \(\frac{20}{\sqrt[3]{x}}\) sollte zunächst die Wurzel in \(\frac{20}{x^{\frac{1}{3}}}\) umgeschrieben werden. Dann kann der Nenner von „unten“  nach „oben“ holen: \(20 x^{-\frac{1}{3}}\). So lässt sich meist einfacher Rechnen.

    Beispiel

    Fasse den Ausdruck so weit wie möglich zusammen:

    \begin{align*}
    &\frac{7}{x} + \sqrt[3]{x} &= 7x^{-1} + x^{\frac{1}{3}}
    \end{align*}

    Häufige Stolperfallen:

    \begin{align*}
    &\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x, \ \ \ \ \frac{x}{3}=\frac{1}{3}x, \ \ \ \ \frac{x^3}{7}=\frac{1}{7}x^3 \\ \\
    &\frac{x}{a} = \frac{1}{a} x, \ \ \ \ \frac{3x}{a} = \frac{3}{a} x, \ \ \ \ \frac{x^3}{a} = \frac{1}{a} x^3
    \end{align*}

    Daniel erklärt euch das Thema Potenzen nochmal in seinem Video

    Rechnen (Arithmetik), Grundlagen Teil 2, Potenzgesetze, Wurzel, Bruch, Basics | Mathe by Daniel Jung

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