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Inhaltsverzeichnis

Geraden in besonderer Lage

studyhelp(15_1)

Parallelen zur \(y\)-Achse.

studyhelp(15_2)

Parallelen zur \(x\)-Achse.

Daniel erklärt dir alle Sonderfälle in diesem Video!

Sondergeraden, Parallelen zur x- und x-Achse | Mathe by Daniel Jung

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Mehrfache Nullstellen

Doppelte Nullstelle

\begin{align*}
0&=\frac{1}{12}x^4-\frac{3}{2}x^2 \\
0&=x^2(\frac{1}{12}x^2-\frac{3}{2}) \\
x^2&=0 \ \vee \ \frac{1}{12}x^2-\frac{3}{2}=0
\end{align*}

Bei \(0\) ist eine doppelte Nullstelle.

Beispielgraph zur Veranschaulichung
Mehrfache Nullstellen

Dreifache Nullstelle

\begin{align*}
f(x)=(x+4)^3(x-1)
\end{align*}

Bei \(-4\) ist somit eine dreifache Nullstelle.

dreifache Nullstelle

Abschnittsweise definierte Funktionen

In der Mathematik ist eine abschnittsweise definierte Funktion eine Funktion, die mehrere Unter-Funktionen hat, und jede ist gültig für bestimmte Werte für \(x\)! Wir betrachten die Funktion

\begin{align*}
g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f(x) \ \ \text{für} \ \ 0 \leq x \leq 2 \\
h(x) \ \ \text{für} \ \ x>2 \end{array} \right.
\end{align*}

Das bedeutet, das für \(x\)-Werte zwischen \(0\) und \(2\) die Funktion \(f(x)\) den Verlauf von \(g(x)\) beschreibt. Für \(x\)-Werte größer \(2\), wird die Funktion \(g(x)\) durch \(h(x)\) beschrieben.

Alles zum Thema Achsen findest du in diesem Video!

Achsen abschnittsweise definierte Funktion, Beispielgraph, Koordinatensystem | Mathe by Daniel Jung

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Abstand von zwei Punkten

Eine allgemeine Formel, die den Abstand von zwei Punkten berechnet, lautet

\begin{align*}
d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}
\end{align*}

Beispiel

Berechne den Abstand der Punkte \(P_1(1|2); ~ Q(3|10)\)

\begin{align*}
d&=\sqrt{(1-3)^2+(2-10)^2} \\
d&= 8,25 \ [\textrm{LE}]
\end{align*}

Abstand von 2 Punkten, Analysis, Funktionen, Wurzelformel | Mathe by Daniel Jung

Senkrechter Abstand

Für den senkrechten Abstand zweier Funktionen bildet man die Differenzenfunktion

\begin{align*}
d(x)=g(x)-f(x).
\end{align*}

Den Abstand muss man häufig bei Extremwertaufgaben oder bei der Fläche zwischen 2 Graphen bestimmen.

studyhelp(46)

Dabei beschreibt \(d(x)\) die Zielfunktion, die die Differenz der beiden Funktionen \(f\) und \(g\), also den senkrechten Abstand angibt. Diese Funktion muss auf Extremstellen untersucht werden. Wenn ein Hochpunkt rauskommt ist der senkrechte Abstand maximal und wenn ein Tiefpunkt rauskommt ist der senkrechte Abstand minimal.

Jetzt Lernvideo zum Thema Senkrechter Abstand von Daniel anschauen

Differenzfunktion, Anwendungsmöglichkeiten | Mathe by Daniel Jung

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Winkel zwischen einer Geraden und x-Achse

Der Steigungswinkel einer Geraden ist derjenige im mathematisch positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) gemessene Winkel \(\alpha\), den die Gerade mit der positiven \(x\)-Achse einschließt. Der Tangens des Steigungswinkels einer Geraden ist für \(\alpha \neq 90\) gleich ihrer Steigung \(m\): \(\tan (\alpha)=m\)
studyhelp(45)

Erklärvideo zum Schnittwinkel mit der x-Achse

Schnittwinkel von Funktionen mit der x-Achse, Formel tan(alpha)=m | Mathe by Daniel Jung

Erklärvideo zum Schnittwinkel mit der y-Achse

Schnittwinkel von Funktionen mit der y-Achse, Mathehilfe online, Erklärvideo | Mathe by Daniel Jung

Winkel zwischen zwei Geraden

Der Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen den Graphen zweier linearer Funktionen mit den Steigungen \(m_1\) bzw. \(m_2\) berechnet sich mittels

\begin{align*}
\tan(\alpha) = \left|\frac{m_1 – m_2}{1+m_1m_2}\right|.

\end{align*}

bil_winkelgg

Stehen die Geraden senkrecht zueinander, gilt: \(m_1 \cdot m_2=-1\)

Achtung bei kurvigem Verlauf zweier Funktionen: dann erst Steigungen an gefragter Stelle bestimmen und diese dann multiplizieren!

Quadranten

Die Abbildung zeigt, welchen Bereich des Koordinatensystems mit welchem Quadranten beziffert werden. So heißt z.B. der Bereich oberhalb der \(x\)-Achse und rechts der \(y\)-Achse Quadrant I.

quadranten

Quadranten im Koordinatensystem, Beschriftung, I, II, III, IV | Mathe by Daniel Jung

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