Trigonometrische Funktionen


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Themen auf dieser Seite

Sinusfunktion

Wichtige Eigenschaften der Sinusfunktion \(f(x)=\sin(x)\):

  • Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion mit Periode \(2\pi\), d.h. dass der Graph der Sinusfunktion sich nach jeder Periode wiederholt.
  • Definitionsbereich \(D=\mathbb{R}\)
  • \(W=[-1;1]\)
  • schneidet die \(y\)-Achse bei (0|0)
  • punktsymmetrisch zum Ursprung

Trigonometrische Funktionen - Sinusfunktion

Die allgemeine Sinusfunktion lautet: \(f(x)=a \sin(bx+c) +d\)

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Cosinusfunktion

Wichtige Eigenschaften der Cosinusfunktion \(f(x)=\cos(x)\):

  • Die Cosinusfunktion ist eine periodische Funktion mit Periode \(2\pi\), d.h. dass der Graph der Cosinusfunktion sich nach jeder Periode wiederholt.
  • Definitionsbereich \(D=\mathbb{R}\)
  • \(W=[-1;1]\)
  • schneidet die \(y\)-Achse bei (0|1)
  • achsensymmetrisch zum Ursprung

Trigonometrische Funktionen - Cosinus

Die allgemeine Cosinusfunktion lautet: \(f(x)=a \cos(bx+c) +d\)

Tangensfunktion

Wichtige Eigenschaften der Tangensfunktion \(f(x)=\tan(x)\):

  • die Tangensfunktion sich in regelmäßigen Abständen wiederholt, deswegen nennt man die Tangensfunktion auch periodisch
  • Der Abstand zwischen zwei Wiederholungen nennt man die kleinste Periode \(T\).

Trigonometrische Funktionen - Tangens

  • Eine weitere Eigenschaft der Tangensfunktion ist, dass ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung \((0/0)\) ist
  • \(W=\mathbb{R}\)

Ableiten von sin, cos und tan

Schau dir zur Einführung das Lernvideo zum Thema Ableiten der Trgonometrischen Funktionen an.

Ableiten, Verkettung mit sin(x), Differenzieren, Kettenregel, Ableitung | Mathe by Daniel Jung

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Übersicht über Ableitungen der Sinus- und Cosinusfunktion:

\begin{align*}
f(x) = \sin(x) \quad &\Rightarrow \quad f'(x) = \cos(x) \\
f(x) = \cos(x) \quad &\Rightarrow \quad f'(x) = -\sin(x) \\
f(x) = -\sin(x) \quad &\Rightarrow \quad f'(x) = -\cos(x) \\
f(x) = -\cos(x) \quad &\Rightarrow \quad f'(x) = \sin(x)
\end{align*}

Die Ableitung des Tangens ist ein wenig schwieriger:

\begin{align*}
f(x)=\tan(x)= \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)
\end{align*}

Der Tangens kann auch mit der Quotientenregel abgeleitet werden, wenn man weiß, dass der Tangens mit Sinus und Cosinus zu

\begin{align*}
f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}
\end{align*}

umgeschrieben werden kann. Dann folgt für die Ableitung

\begin{align*}
f'(x)=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} =\frac{1}{\cos^2(x) }
\end{align*}

mit \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\).

Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zum Thema Trigonometrische Funktionen an.

Playlist: Trigonometrische Funktionen, Winkelfunktionen, sin(x), cos(x), tan(x), arcus

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