Sekante, Tangente und Normale


Du bekommst deine Aufgabe nicht gelöst? Sichere dir jetzt 30 Min. Skype-Coaching gratis!
Mathe Abitur Intensivkurse

Themen auf dieser Seite:

Sekantengleichung aufstellen

Die Sekante schneidet eine Funktion \(f(x)\) in zwei Punkten. Im Sachzusammenhang gesehen beschreibt die Steigung der Sekante die durchschnittliche Änderung in einem Bereich, der durch die Schnittpunkte \(P_1\) und \(P_2\) der Geraden mit der Funktion gegeben ist.

Zur Erinnerung: \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) bzw. \(m =\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)

Sekante

Du bekommst deine Aufgabe nicht gelöst? Sichere dir jetzt 30 Min. Skype-Coaching gratis!
Mathe Abitur Intensivkurse

Was ist in der Regel gegeben?

  • Funktion, hier \(f(x)=3x^2+1 \)
  • zwei Punkte oder 2 \(x\)-Werte, hier \(P_1(-1|f(-1))\), \(P_2(2|f(2))\)

Vorgehen:

  1. Allgemeine Geradengleichung: \(y=mx+b\) – Wir suchen also \(m\) und \(b\)!
  2. Für \(m\): Steigung durch zwei Punkte \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
  3. Für \(b\): \(m\) und einen der beiden Punkte in allgemeine Geradengleichung einsetzen.

Für unser Beispiel wird die Sekantengleichung wie folgt berechnet:

\begin{align*}
y&=m \cdot x+b \quad \textrm{mit} \quad m=\frac{(3\cdot 2^2+1)-(3\cdot 1^2+1)}{2-(-1)}=\frac{9}{3}=3 \ \textrm{und} \ P_2(2|13) \\
\Rightarrow \quad 13&= 3 \cdot 2 + b \quad |-6 \quad \Leftrightarrow \quad b= 7
\end{align*}

Die gesuchte Sekantengleichung lautet \(y=3x+7\).

Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideo zu dem Thema an!

Sekantensteigung, Tangentensteigung, Ableitung, Ableiten, Übersicht | Mathe by Daniel Jung

Tangente berechnen

Schau dir zur Einführung das Lernvideo von Daniel zum Thema Tangente an!

Tangente, Tangentengleichung aufstellen mittels 1.Ableitung, Mathehilfe | Mathe by Daniel Jung

Mathe Abitur Lernhefte inkl. Aufgabensammlung
5 von 5 Sternen
Mathe Abitur Lernhefte inkl. Aufgaben

35,99€

Die Tangente berührt eine Funktion \(f(x)\) in einem Punkt \(P_0\). Die Steigung der Tangente \(m_{tan}\) beschreibt die Steigung in einem beliebigen Punkt \(x_0\).

Im Sachzusammenhang gesehen beschreibt die Steigung die momentane Änderung.

Zur Erinnerung:

\begin{align*}
m_{tan}=f'(x_0)
\end{align*}

Tangente einer Funktion

Was ist in der Regel gegeben?

  • Funktion, hier \(f(x)=3x^2+1 \)
  • \(x\)-Wert, hier \(P(1/f(1))\)

Vorgehen:

  1. Allgemeine Geradengleichung gesucht: \(y=m \cdot x+b\) – Wir suchen also \(m\) und \(b\)!
  2. Ableitung bestimmen \(f'(x)\) , hier \(f'(x)=m=6x\)
  3. für \(y\): \(x\)-Wert in \(f(x)\) einsetzen, hier \(f(1)=3 \cdot 1^2+1 \Rightarrow y=4\)
  4. für \(m\): \(x\)-Wert in \(f'(x)\) einsetzen, hier \(f'(1)=6 \cdot 1 \Rightarrow m=6\)
  5. für \(b\): \(m\) und \(y\) in allgemeine Geradengleichung einsetzen.

Für unser Beispiel folgt:

\begin{align*}
y&=m \cdot x+b \\
\Leftrightarrow \quad 4&= 6 \cdot 1 + b \\
\Leftrightarrow \quad 4&=6+b  \quad |-6 \quad \Rightarrow \quad b= -2
\end{align*}

Die gesuchte Tangentengleichung lautet: \(y=6x-2\)

Playlist: Specials/Sonderheiten wie Tangentengleichung, Winkel, Parallelen, etc…

Normale, Senkrechte bzw. Orthogonale

Die Ableitung einer Funktion \(f(x)\) an einem Punkt \(P_0\) ist gleich der Steigung der Tangente \(m_{tan}\) an diesem Punkt. Die Normale verläuft senkrecht (othogonal) zur Tangente an diesem Berührungspunkt. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Steigung der Tangente.

Wie wir bereits kennengelernt haben, wird die Steigung der Tangente durch

\begin{align*}
m_{tan}=f'(x_0)
\end{align*}

bestimmt. Die Steigung der Normalen lautet demnach:

\begin{align*}
m_{norm}=-\frac{1}{m_{tan}}=-\frac{1}{f'(x_0)}
\end{align*}

Normale einer Funktion

mathe-bottom-fullwidth ->

Mathe ABI Intensivkurs Analysis - Herbstferien Nur 39€ mit Gutschein "ANALYSIS18"
Mathe Abitur Intensivkurse

Was ist in der Regel gegeben?

  • Funktion, hier \(f(x)=3x^2+1 \)
  • \(x\)-Wert, hier \(P(1|f(1))\)

Vorgehen:

  1. Allgemeine Geradengleichung gesucht: \(y=m \cdot x+b\)
  2. Ableitung \(f'(x)\) und Steigung der Tangente \(m_{tan}\) bestimmen, hier \(f'(1)=6=m_{tan}\)
  3. Steigungen der Normalen bestimmen, hier \(m_{norm}=-1/m_{tan}=-1/6\)
  4. für \(b\): \(m_{norm}\) und \(P(1|4)\) in Geradengleichung einsetzen

Für unser Beispiel folgt:

\begin{align*}
y&=m \cdot x+b \\
\Rightarrow \quad 4&= -\frac{1}{6}\cdot 1 + b \quad |+\frac{1}{6} \quad \Rightarrow b = \frac{25}{6}
\end{align*}

Die gesuchte Normalengleichung lautet: \(y=-\frac{1}{6}x+\frac{25}{6}\)
Ganz wichtig: Es muss immer \(m_{tan}\cdot m_{norm}=-1\) gelten!

Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zu dem Thema an!

Playlist: Von Sekantensteigung zur Tangentensteigung (Ableitung), Differentialrechnung, Momentane/durchschnittliche Änderungsrate/Geschwindigkeit

Kostenlos Mathe-Frage stellen!