Binomische Formeln

Es gibt drei binomische Formeln. Diese sind ein wichtiges Hilfsmittel zur Vereinfachung von Termen und können in beiden Richtungen angewendet werden. Das bedeutet, dass sie sowohl zum Ausklammern, als auch zum Faktorisieren verwendet werden können.

Was dich auf dieser Seite erwartet:


Wie lauten die drei binomischen Formeln?

  1. Binomische Formel: \( \mathbf{(a+b)^2} = a^2+2 \cdot a \cdot b + b^2 \\ \\ \)
  2. Binomische Formel: \( \mathbf{(a-b)^2} = a^2-2 \cdot a \cdot b + b^2 \\ \\ \)
  3. Binomische Formel: \( \mathbf{(a+b)\cdot(a-b)} = a^2-b^2 \)

Wofür brauche ich die binomischen Formeln?

  • .. um Klammern schneller und leichter ausmultiplizieren zu können.
  • .. zur rückgängigen Ausmultiplizierung. Sprich: Klammern erzeugen.
  • .. zur Umformung von Gleichungen.
  • .. zur erleichterten Rechnung mit Potenzen.

Erste binomische Formel

\begin{align*}
\mathbf{\left(a+b\right)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2}
\end{align*}

Wer sich mit dem Thema Ausklammern befasst hat, kann hier getrost zur 2. binomischen Formel springen. Für alle anderen macht es Sinn sich die Herleitung genauer anzuschauen:

\begin{align*}
(a+b)^2 &= (a+b)\cdot (a+b) \\
&= a\cdot(a+b)+b\cdot(a+b) \\
&= a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b \\
&= a^2+a\cdot b+a\cdot b+b^2 \\
&= a^2+2\cdot a\cdot b+b^2
\end{align*}

Der genaue Beobachter sieht, dass es sich schlicht um das Ausklammern des linken Ausdrucks handelt.

Erste binomische Formel

Da die ganzen Buchstaben viele Leser verwirren, zeigen wir euch das Ganze nochmal anhand von Beispielen.

Beispiele zur ersten binomischen Formel

Beispiel 1

\begin{align*}
\left(2+3\right)^2=2^2+2\cdot 2\cdot 3+3^2=25
\end{align*}

Wie ihr sicher schon erkannt habt, ist das Ergebnis nichts anderes als \(5^2\). Doch so einfach machen es euch dann die Lehrer doch nicht, wenn es um binomische Formeln geht. Oftmals werden dann Buchstaben in die Formel eingefügt, wie ihr im Beispiel 2 jetzt sehen werdet.

Beispiel 2

\begin{align*}
\left(2x+3\right)^2={\left(2x\right)}^2+2\cdot 2x\cdot 3+3^2={4x}^2+12x+9
\end{align*}

Die Vorgehensweise ist also recht einfach. Setzt für a und b einfach die entsprechenden Zahlen oder Buchstaben ein und rechnet den oben gezeigten Weg durch.

Hinweis

Der jeweils mittlere Teil der binomischen Formeln muss selbstverständlich nicht bei jeder Aufgabe mit geschrieben werden. Er dient hier nur zur Veranschaulichung und zum besseren Verständnis. Nach einiger Übung werdet ihr sicherlich in der Lage sein, direkt von der Klammer zum endgültigen Term oder umgekehrt zu gelangen.

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Zweite binomische Formel

Die zweite binomische Folge sieht auf den ersten Blick viel komplizierter aus, als sie eigentlich ist. Im Gegensatz zur ersten binomischen Formel ändert sich hier nur das Vorzeichen in der Klammer.

\begin{align*}
\left(a-b\right)^2 &= \left(a-b\right)\cdot \left(a-b\right) \\
&= a\cdot(a-b) – b\cdot(a-b)\\
&= a\cdot a – a\cdot b – b\cdot a -b\cdot(-b) \\
&= a^2 – a\cdot b – a\cdot b + b\cdot b\\
&= a^2 -2\cdot a\cdot b + b^2
\end{align*}

Auch hier geben wir euch nochmal ein Beispiel zur Vertiefung:

Beispiel

\begin{align*}
\left(2x-3\right)^2={\left(2x\right)}^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2={4x}^2-12x+9
\end{align*}

Nicht verstanden? Daniel erklärt euch die zweite binomische Formel nochmal in einem seiner Videos.

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Dritte binomische Formel

Die letzte binomische Formel zeigt euch, wie ihr zwei Klammern miteinander multipliziert – sprich, hier passiert nichts anderes als einfache Klammerrechnung. Beim Hinschauen fällt direkt auf, dass in der ersten Klammer ein + und in der zweiten Klammer ein – steht.

\begin{align*}
(a+b)(a-b) &= (a+b)\cdot(a-b) \\
&= a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)\\
&= a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a+b\cdot (-b) \\
&= a^2-a\cdot b+a\cdot b+b\cdot b \\
&= a^2-b^2
\end{align*}

Zum Abschluss habt ihr hier noch einmal ein Beispiel zur dritten binomischen Formel.

Beispiel

\begin{align*}
\left(2x+3\right)\cdot \left(2x-3\right)={\left(2x\right)}^2-3^2={4x}^2-9
\end{align*}

Zur Wiederholung könnt ihr euch dieses Video zur dritten binomischen Formel anschauen.

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