Bruchrechnung

Das Thema Bruchrechnung begleitet uns unser ganzes Leben. Umso wichtiger ist es, dass die Grundlagen der Bruchrechnung schnell und einfach verstanden werden. Hierfür haben wir euch alle wichtigen Themen rund um die Bruchrechnung in leicht verständlicher Sprache aufgeschrieben.

Bruchrechnung Grundlagen

Beim Brüche Rechnen gibt der Nenner (unten) an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird. Der Zähler (oben) gibt an, wie viele Teile davon genommen werden. Beispiel: \(\frac{4\ }{5\ }\ \frac{(Zähler)}{(Nenner)}\)

Brüche rechnen

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Grundlagen Bruchrechnung, Brüche addieren, erweitern, kürzen | Mathe by Daniel Jung

Bruchrechnung Regeln

Bruch erweitern:
Ein Bruch wird erweitert, indem man sowohl den Zähler (oben) als auch den Nenner (unten) des Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert. Die Zahl über dem Pfeil gibt an, dass der Bruch mit 2 erweitert wird:

\[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\ \ {{\stackrel{\mathrm{2}}{\longrightarrow}}}\ \ \frac{\mathrm{3}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}{\mathrm{7}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{14}}\]

Bruch kürzen:
Ein Bruch wird gekürzt, indem man sowohl den Zähler (oben) als auch den Nenner (unten) durch die gleiche Zahl teilt. Die Zahl unter dem Pfeil gibt an, dass der Bruch mit 9 gekürzt wird:

\[\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{27}}\ \ {{\mathop{\longrightarrow}\limits_{\mathrm{9}}}}\ \ \frac{\mathrm{9\div 9}}{\mathrm{27\div 9}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\]

Bruchrechnung mit gemischten Zahlen & Unechter Bruch:
Eine gemischte Zahl (Ganze Zahl und Bruch z.B. \(\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\)) kann man nach dem folgendem Schema in einen unechten Bruch (Zähler > Nenner) umwandeln:

\[\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{=\ }\frac{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{4+1}}{\mathrm{4}}\mathrm{=\ }\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\]

Addition von Brüchen:
Zwei Brüche kann man addieren, indem man den Nenner (unten) gleichnamig macht und anschließend die beiden Zähler (oben) der Brüche addiert. Das kgV von 7 und 5 ist 35.

\[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{3}\mathrm{\cdot }\mathrm{5}}{\mathrm{7}\mathrm{\cdot }\mathrm{5}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{4}\mathrm{\cdot }\mathrm{7}}{\mathrm{5}\mathrm{\cdot }\mathrm{7}}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{35}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{35}}\mathrm{=\ }\frac{\mathrm{15+28}}{\mathrm{35}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{43}}{\mathrm{35}}\]

Brüche subtrahieren:
Zwei Brüche werden subtrahiert, indem man den Nenner (unten) beider Brüche gleichnamig macht und anschließend die beiden Zähler (oben) voneinander subtrahiert:

\[\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\mathrm{=\ }\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{35}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{35}}\mathrm{=\ }\frac{\mathrm{28-15}}{\mathrm{35}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{35}}\]

Multiplikation von Brüchen:
Zwei Brüche werden multipliziert, indem man den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multipliziert:

\[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\cdot }\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}\mathrm{\cdot }\mathrm{3}}{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{4}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\]

Man sollte, falls möglich, die Brüche vor der Multiplikation über kreuz kürzen:

\begin{align*}
\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{27} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9}
\end{align*}

Division von Brüchen:
Zwei Brüche werden dividiert, indem man bei dem Bruch durch den geteilt wird, den Zähler und den Nenner vertauscht (Kehrwert bildet) und danach die beiden Brüche miteinander multipliziert: 
\[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\mathrm{\div }\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{14}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\mathrm{\cdot }\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{27}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\]

Hinweis: Bitte das Ergebnis bei allen vier Grundrechenarten immer vollständig
kürzen!

Beispielaufgabe Bruchrechnung

Ordne die folgenden Zahlen nach ihrer Größe. Beginne mit der kleinsten Zahl:

\begin{align*}
0,25; \frac{1}{5}; -0,3 ; 0,225; -\frac{1}{3}
\end{align*}

Lösung Bruchrechnung:

Bevor wir unsere Zahlen der Größe nach ordnen können, empfiehlt es sich, diese in Dezimalzahlen umzuwandeln:

\begin{align*}
\frac{1}{5} = 0,2
\end{align*}

\begin{align*}
-\frac{1}{3} = -0,\overline{3}
\end{align*}

Jetzt können wir unsere Zahlen der Größe nach aufsteigend ordnen:

\begin{align*}
-0,\overline{3} < -0,3 < 0,2 < 0,225 < 0,25
\end{align*}

Weitere Erklärungen inkl. Aufgaben zum Thema Brüche rechnen gibt es im passenden Lernvideo:

Brüche mit Kuchen und Streckenlängen verdeutlicht, Mathehilfe online, Mathe by Daniel Jung

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