Potenzen und Potenzgesetze

Potenzen bestehen aus einer Basis und aus einem Exponenten (Hochzahl), z.B.: \({\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}\mathrm{=2}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}\). Der Exponent \(4\) gibt an, wie oft die Basis \(2\) mit sich selbst multipliziert werden muss.

Daniels Einführungsvideo zum Thema Potenz, Basis und Exponent

Potenz, Potenzen, Basis, Exponent, Grundlagen, Nachhilfe online | Mathe by Daniel Jung

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Potenzgesetze

Potenzen mit gleicher Basis

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert:

\[{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m+n}}\]
Beispiel: \({\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{3+4}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{7}}\)

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert:

\[{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{\ :}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}\frac{a^m}{a^n}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m-n}}\]
Beispiel: \({\mathrm{x}}^{\mathrm{5}}\mathrm{:}{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{5-3}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\)
Schau dir vertiefend das Lernvideo zum Thema Potenzgesetze an!

Potenzgesetze, multiplizieren, dividieren, gleiche Basis, potenzieren | Mathe by Daniel Jung

Potenzen mit gleichem Exponenten

Zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis und mit gleichem Exponenten dürfen nach folgender Regel multipliziert werden:


\[{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{b}}^{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\left(\mathrm{a}\mathrm{\cdot }\mathrm{b}\right)}^{\mathrm{m}}\]
Beispiel: \({\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\left(\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{6}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=216}\)

Zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis und mit gleichem Exponenten dürfen nach folgender Regel dividiert werden:

\({\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{:}{\mathrm{b}}^{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\left(\mathrm{a\ :b}\right)}^{\mathrm{m}}\) bzw. \(\frac{a^m}{b^m}\mathrm{=}{\left(\frac{a}{b}\right)}^m\)
Beispiel: \({\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}\mathrm{:}{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{(6:3)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=4}\)

Außerdem gilt:

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert:


\[{\left({\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\right)}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}\mathrm{\cdot }\mathrm{n}}\]
Beispiel: \({\left({\mathrm{2}}^2\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}\mathrm{=16\ }\)

Potenzen mit negativen Exponenten können auch als Bruch dargestellt werden:


\[{\mathrm{a}}^{\mathrm{-}\mathrm{n}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}}\]
Beispiel:\({\mathrm{2}}^{\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\)

Hier findest du verschiedene Lernvideos zum Thema Potenzen

Playlist: Potenzen, Potenzgesetze

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