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Potenzen und Potenzgesetze

Potenzen bestehen aus einer Basis und aus einem Exponenten (Hochzahl), z.B.: ${\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}\mathrm{=2}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}$. Der Exponent $4$ gibt an, wie oft die Basis $2$ mit sich selbst multipliziert werden muss.

Daniels Einführungsvideo zum Thema Potenz, Basis und Exponent

Potenz, Potenzen, Basis, Exponent, Grundlagen, Nachhilfe online | Mathe by Daniel Jung

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Potenzgesetze

Potenzen mit gleicher Basis

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert:

\[{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m+n}}\]

Beispiel: ${\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{3+4}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{7}}$

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert:

\[{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{\ :}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}\frac{a^m}{a^n}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m-n}}\]

Beispiel: ${\mathrm{x}}^{\mathrm{5}}\mathrm{:}{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{5-3}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}$

Schau dir vertiefend das Lernvideo zum Thema Potenzgesetze an!

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Potenzen mit gleichem Exponenten

Zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis und mit gleichem Exponenten dürfen nach folgender Regel multipliziert werden:

\[{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{b}}^{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\left(\mathrm{a}\mathrm{\cdot }\mathrm{b}\right)}^{\mathrm{m}}\]

Beispiel: ${\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\left(\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{6}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=216}$

Zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis und mit gleichem Exponenten dürfen nach folgender Regel dividiert werden:

${\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{:}{\mathrm{b}}^{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\left(\mathrm{a\ :b}\right)}^{\mathrm{m}}$ bzw. $\frac{a^m}{b^m}\mathrm{=}{\left(\frac{a}{b}\right)}^m$

Beispiel: ${\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}\mathrm{:}{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{(6:3)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=4}$

Außerdem gilt:

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert:

\[{\left({\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\right)}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}\mathrm{\cdot }\mathrm{n}}\]

Beispiel: ${\left({\mathrm{2}}^2\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}\mathrm{=16\ }$

Potenzen mit negativen Exponenten können auch als Bruch dargestellt werden:

\[{\mathrm{a}}^{\mathrm{-}\mathrm{n}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}}\]

Beispiel:${\mathrm{2}}^{\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}$

Hier findest du verschiedene Lernvideos zum Thema Potenzen

Playlist: Potenzen, Potenzgesetze

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