Exponentielles Wachstum
- Exponentielles Wachstum
- Exponentielle Abnahme
- Zinsenszinsen als Sonderfall des exponentiellen Wachstums
- Beispielaufgaben
Bei der Exponentialfunktion steht die Variable $x$ oder manchmal auch $n$ im Exponenten. Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet:
\begin{align*}
f\left(x\right)=c\cdot a^x\
\end{align*}
oder
\begin{align*}
f\left(n\right)=c\cdot a^n\
\end{align*}
Eine Exponentialfunktion kann sowohl einen Wachstums- als auch Abnahmeprozess beschreiben. Die folgenden Zusammenhänge tauchen beim Thema Exponentialfunktion immer wieder auf:
- Bakterienwachstum
- Bevölkerungswachstum
- Halbwertszeiten von radioaktiven Stoffen
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Exponentielles Wachstum
Wir werden uns jetzt am folgenden Beispiel klar machen, welche Bedeutung die einzelnen Variablen innerhalb einer Exponentialfunktion haben. Dazu wollen wir uns das folgende Beispiel angucken:
Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich 100 Bakterien in einer Bakterienkultur. Diese Bakterien vermehren sich stündlich um 5%. Wie viele Bakterien sind nach fünf Stunden in der Bakterienkultur vorhanden?
Wir betrachten noch einmal unsere allgemeine Funktionsgleichung und ordnen die einzelnen Werte zu.
Das $f(x)$ steht für die Anzahl nach $x$ Stunden, Minuten, Tagen, Jahren oder was auch immer gerade in der Aufgabe für eine Zeiteinheit angegeben ist. Bei unserer Aufgabe handelt es sich um Stunden, da wir wissen, dass sich die Bakterien stündlich vermehren.
Das ist der sogenannte Anfangsbestand oder manchmal auch Startwert. In unserem Beispiel befinden sich zu Anfang 100 Bakterien in der Bakterienkultur, also gilt $c=100$. Das $a$ ist unser Wachstums- oder Abnahmefaktor. Bei unserem Beispiel vermehren sich die Bakterien, also handelt es sich um ein exponentielles Wachstum. Wir müssen also noch den Wachstumsfaktor berechnen.
Grundsätzlich gilt bei exponentiellem Wachstum:
\[a=1+\frac{p}{100}\]
In unserem Fall gilt $p=5$, da sich unsere Bakterien stündlich um $5\%$ vermehren. Also ist unser Wachstumsfaktor $a=1+\frac{5}{100}=1,05$. Zum Schluss benötigen wir noch unser $x$. Wir sollen berechnen wie viele Bakterien nach fünf Stunden vorhanden sind, also gilt $x=5$. Abschließend setzen wir alles in unsere Funktionsgleichung ein und erhalten:
\[f\left(5\right)=100\cdot {1,05}^5\approx 127,63\]
In unserer Bakterienkultur befinden sich fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn circa $127$ Bakterien. Da es nur Bakterien (oder auch Menschen und andere Lebewesen) im Ganzen geben kann, wird das Ergebnis nicht wie sonst üblich aufgerundet, sondern man lässt die Nachkommastellen einfach weg.
Eine weitere Frage in diesem Zusammenhang könnte lauten: Nach wie vielen Stunden sind erstmalig 200 Bakterien in der Bakterienkultur vorhanden?
Unser Startwert ist wieder $c=100.$ Unser Wachstumsfaktor bleibt ebenfalls gleich, nämlich $a=1,05$. Für unser $f(x)$ gilt: $f\left(x\right)=200$. Wir suchen also nach unserem $x$. In diesem Fall müsst ihr ausprobieren, wann erstmalig die Grenze von $200$ Bakterien überschritten wird. Wir überprüfen die Bakterienanzahl zu Beginn für $x=8$, also nach $8$ Stunden:
\[f\left(8\right)=100\cdot {1,05}^8\approx 147,75\]
Wir haben also noch nicht die erforderliche Anzahl erreicht. Als nächstes überprüfen wir einen weiteren Wert:
\[f\left(14\right)=100\cdot {1,05}^{14}\approx 197,99\]
Nach $14$ Stunden befinden sich also noch nicht ganz $200$ Bakterien in unserer Kultur.
Deswegen überprüfen wir jetzt noch $f(15)$:
\[f\left(15\right)=100\cdot {1,05}^{15}\approx 207,89\]
Wir sehen, dass sich zwischen 14 und 15 Stunden erstmalig mehr als 200 Bakterien in der Bakterienkultur befinden.
Alternativer Lösungsweg mit dem Logarithmus
Eine weitere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen, bietet der Logarithmus. Der Vorteil ist, dass wir nicht ausprobieren müssen, sondern sofort ein korrektes Ergebnis erhalten. Zunächst stellen wir wieder unsere Gleichung auf:
\begin{align*}
\begin{array}{rcrcll}
f(x) & = & 100 \cdot 1{,}05^x & = & 200 & \\
& \Rightarrow & 100 \cdot 1{,}05^x & = & 200 & | \div 100 \\
& & 1{,}05^x & = & 2 &
\end{array}
\end{align*}
Jetzt können wir die Logarithmusdefinition anwenden und erhalten:
\begin{align*}
1{,}05^x = 2 \Leftrightarrow \log_{1{,}05} (2) = x
\end{align*}
Nach Eingabe in den Taschenrechner wissen wir, dass die Bakterienkultur erstmalig 200 Bakterien beträgt:\begin{align*} x \approx{14,21} \ \text{Stunden}.\end{align*}
Ein weiterer Lösungsweg sieht wie folgt aus:
\begin{align*}
\begin{array}{rcll}
100 \cdot 1{,}05^x & = & 200 & | \div 100 \\
1{,}05^x & = & 2 & |\ \text{Die Gleichung wird auf beiden Seiten logarithmiert} \\
\log(1{,}05^x) &=& \log(2) & |\ \text{Anwendung 3. Logarithmusgesetz} \\
x \cdot \log(1{,}05) & = & \log(2) & |\div \log(1{,}05) \\
x & =& \dfrac{ \log(2)}{\log(1{,}05)} & \\
x & \approx & 14{,}21 \ \text{Stunden} &
\end{array}
\end{align*}
Die Lösung mittels Logarithmus liefert ein sehr viel genaueres Ergebnis als die Lösung mittels Ausprobieren.
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Exponentielle Abnahme
Als nächstes betrachten wir eine Aufgabe, bei welcher es sich um eine exponentielle Abnahme handelt. Dazu gucken wir uns das folgende Beispiel an:
Der radioaktive Stoff Illusorium halbiert seinen Anfangsbestand jährlich. Wie viel Gramm sind nach sieben Jahren noch vorhanden, wenn zu Beginn 200 g vorhanden sind?
Es handelt sich jetzt also um eine exponentielle Abnahme. Hier müssen wir bei der Berechnung unseres Abnahmefaktors wie folgt vorgehen:
\[a=1-\frac{p}{100}\]
Wenn ein bestimmter Stoff seinen Anfangsbestand in einem gewissen Zeitraum halbiert, bedeutet das, dass hinterher noch 50% vorhanden sind. Deswegen rechnen wir:
\[a=1-\frac{50}{100}=0,5\]
Unser Abnahmefaktor beträgt also $a=0,5$. Wir setzen wieder alle uns bekannten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten:
\[f\left(7\right)=200\cdot {0,5}^7\approx 1,5625\]
Nach sieben Jahren sind also noch 1,5625 g vorhanden.
Macht euch, bevor ihr anfangt zu rechnen, also klar, ob es sich um eine exponentielle Abnahme oder um exponentielles Wachstum handelt.
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Zinsenszinsen als Sonderfall des exponentiellen Wachstums
Bei der Berechnung von Zinseszinsen handelt es sich ebenfalls um exponentielles Wachstum. Insbesondere bei der Berechnung von Finanzen spielt die Zinseszinsberechnung eine bedeutende Rolle. Diese Art der Berechnung brauchst du zum Beispiel, wenn du später BWL studieren willst. Auch bei einer kaufmännischen Ausbildung wirst du diese Berechnung oft verwenden. In der Schule wird häufig die folgende allgemeine Funktionsgleichung verwendet:
\[K\left(n\right)=K_0\cdot q^n\]
Grundsätzlich verhält sich alles genau so wie bei anderen Aufgaben zum exponentiellen Wachstum auch. Das $K\left(n\right)$ ist gleichbedeutend mit $f(x)$. $K_0$ repräsentiert unseren Startwert $c$ und $q$ ist unser Wachstumsfaktor $a$. Das $n$ steht für die Anzahl der Jahre, da wir es bei den Zinseszinsen mit Laufzeiten zu tun haben, welche größer als ein Jahr sind.
Man kann die Zinseszinsformel sowohl nach $K_0$ als auch nach $q$ umstellen und erhält dann:
$K_0=\frac{K(n)}{q^n}$ und $q=\sqrt[n]{\frac{K(n)}{K_0}}$
Beispielaufgabe zum Zinssatz:
Frau Meyer legt 2000 € zu einem Zinssatz von $2\%$ an.
- Wie hoch ist ihr Kapital nach drei Jahren? Das Anfangskapital beträgt $K_0=2000$ € und der Wachstumsfaktor lautet $q=1+\frac{2}{100}=1,02$. Außerdem ist die Laufzeit $n=3$. Wir setzen ein und erhalten:\[K\left(3\right)=2000\cdot {1,02}^3\approx 2122,42 \]Das Kapital von Frau Meyer beträgt nach drei Jahren 2122,42 €.
- Wie viel Euro müsste sie anlegen um bei gleichem Zinssatz nach fünf Jahren über 3000 € verfügen zu können?Wir suchen also bei dieser Aufgabe unser $K_0$ und benutzen die entsprechende Formel:
\[K_0=\frac{K(n)}{q^n}=\frac{3000}{{1,02}^5}\approx 2717,19\]Sie mü}sste also circa 2717,19 €anlegen, um nach 5 Jahren 3000 € auf dem Konto zu haben. - Bei welchem Zinssatz würde ihr Kapital von 2000 € innerhalb von zehn Jahren auf $2500 €$ anwachsen?
In diesem Fall suchen wir unseren Zinssatz und nehmen zuerst die Formel zur Berechnung von $q$:
\[q=\sqrt[n]{\frac{K(n)}{K_0}}=\sqrt[{10}]{\frac{2500}{2000}}\approx 1,023\]
Für den Wachstumsfaktor gilt also $q\approx 1,023$. Das ist jedoch noch nicht unser Zinssatz. Um diesen herauszufinden, müssen wir die Formel zur Bestimmung des Wachstumsfaktors nach dem Zinssatz $p$ umstellen.
\[p=(q-1)\cdot 100\]
Wir setzen ein und erhalten abschließend:
\[p=\left(q-1\right)\cdot 100=\left(1,023-1\right)\cdot 100=2,3\%\]
Der Zinssatz beträgt $2,3\%$.
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Weitere Beispielaufgaben
Beispielaufgabe 1 – Exponentielles Wachstum
Ein Virus hat bereits Menschen befallen. Diese Zahl wächst täglich um 1,5%.
- Gib den täglichen Wachstumsfaktor an.
- Berechne wie viele Menschen in vier und fünf Tagen befallen sind.
Lösungen:
Aufgabenteil 1:
Beim exponentiellen Wachstum müssen wir zwischen zwei zentralen Begriffen unterscheiden, zum einen gibt es die Wachstumsrate und zum anderen gibt es den Wachstumsfaktor. Die Anzahl unserer Viren wächst täglich um $1,5%$. Das entspricht einer Wachstumsrate von $a=0,015$. Der dazugehörige Wachstumsfaktor kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
\begin{align*}
q = 1 + p \\
q = 1 + 0,015 = 1,015 \\
\end{align*}
Aufgabenteil 2:
Wir stellen zuerst eine Funktionsvorschrift auf, welche den Wachstumsprozess unserer Viren allgemein beschreibt. Grundsätzlich gilt für Exponentialfunktionen die folgende Form:
\begin{align*}
f(x)=c\cdot a^x
\end{align*}
$c$ beschreibt unseren Startwert, $a$ ist der Wachstumsfaktor und $x$ steht für die Anzahl der Zeiteinheiten. Bezogen auf unsere konkrete Aufgabe erhalten wir die folgende Vorschrift:
\begin{align*}
f(x)=200\cdot1,015^x
\end{align*}
Um die Anzahl der befallenen Menschen nach vier Tagen zu berechnen, setzen wir $4$ in unsere Funktionsvorschrift ein:
\begin{align*}
f(4)=200\cdot1,015^4 \approx 215
\end{align*}
Nach 5 Tagen sind circa 215 Menschen befallen.
Beispielaufgabe 2 – Exponentielles Wachstum
Auf einem Teich befinden sich zu Beobachtungsbeginn drei Seerosen. Die Anzahl der Seerosen verdoppelt sich wöchentlich.
- 1) Stelle eine geeignete Funktionsgleichung zum oben aufgeführten Sachverhalt auf.
- 2) Wie viele Seerosen befinden sich nach fünf Tagen auf der Oberfläche des Teiches?
Die Größe einer Seerose beträgt durchschnittlich $50cm^2$ . Der Teich hat eine Größe von $25m^2$.
- 3) Wie viele Seerosen passen theoretisch auf die Oberfläche des Teiches?
Lösungen:
Aufgabenteil 1:
Es handelt sich bei der Aufgabe um eine Aufgabe zum Thema exponentielles Wachstum. Es wird also eine Exponentialfunktion gesucht. Allgemein gilt:
\begin{align*}
?(?)=c \cdot a^x
\end{align*}
Im vorliegenden Fall lautet die Funktionsgleichung:
\begin{align*}
?(?)=3 \cdot 2^x
\end{align*}
Aufgabenteil 2:
Um berechnen zu können wie viele Seerosen sich nach fünf Tagen auf der Teichoberfläche befinden, muss dieser Wert in die eben aufgestellte Funktionsgleichung eingesetzte werden:
\begin{align*}
?(5)=3 \cdot 2^5=96
\end{align*}
Aufgabenteil 3:
Die Größe der Seerosen ist in $cm^2$ und die Größe des Teiches ist in $m^2$ angegeben. Zuerst muss die Größe der Seerosen in ?2 umgewandelt werden:
\begin{align*}
25cm^2=0,25dm^2=0,0025m^2
\end{align*}
Die Größe einer Seerose beträgt demnach $0,0025m^2$. Jetzt muss die Größe des Teiches durch die Größe einer Seerose geteilt werden:
\begin{align*}
50m^2 : 0,0025m^2 = 20000
\end{align*}
Auf die Oberfläche des Teiches passen theoretisch $20000$ Seerosen.
Zinsrechnung nochmal verständlich von Daniel erklärt.
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Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zum Thema Exponentialfunktion an
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