Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung liegt vor, wenn ausschließlich lineare Kombinationen der Variable $x$ vorkommen. Dies bedeutet, dass wir sie in der Form

\begin{align*}
m\cdot x + b = 0
\end{align*}

schreiben, oder in diese Form bringen können.

Subtrahieren wir auf beiden Seiten die Zahl $b$ und dividieren durch $m\neq 0$, so erhalten wir die Lösung der linearen Gleichung:

\begin{align*}
m\cdot x + b = 0 \Leftrightarrow x = \frac{-b}{m}
\end{align*}

Beispiel:
Gegeben sei folgende Gleichung:
\begin{align*}
5x-5+x = 1+3x-7
\end{align*}

Zunächst vereinfachen wir beide Seiten, bringen alles mit $x$ auf die linke Seite und alles ohne $x$ auf die rechte Seite:

\begin{align*}
\begin{array}{crcll}
& 6x-5 &=& 3x-6 & |-(3x), +5\\
\Leftrightarrow & 6x – 3x &=& -6+5 & \\
\Leftrightarrow &3x&=& -1 &
\end{array}
\end{align*}

Anschließend erhalten wir die Lösung der linearen Gleichung, indem wir durch die Zahl vor dem $x$ (hier 3) teilen:

\begin{align*}
x =-\frac{1}{3}
\end{align*}