Ungleichungen

Als Nächstes befassen wir uns mit dem Lösen von Ungleichungen. Diese sind dadurch charakterisiert, dass statt eines Gleichheitszeichens ($=$) eines der Zeichen $<$, $>$, $\leq$, oder $\geq$ in der Ungleichung stehen. Beispielsweise sind

\begin{align*}
x>5
\qquad \qquad
x^2-1<1
\qquad \qquad
e^x>\ln(x)
\end{align*}

jeweils Ungleichungen. Zur Lösung dieser gibt es zwei mögliche Vorgehensweisen.

Vorgehen bei Ungleichungen:

  1. Wir bringen alle Werte auf die linke Seite und setzen diese dann $=0$, unabhängig von dem Zeichen, welches vorher in der Ungleichung stand.
  2. Für jeden Bereich zwischen zwei Nullstellen setzen wir einen Wert ein und erkennen, ob dieser positiv oder negativ ist. Gegebenenfalls erkennen wir dies auch ohne Einsetzen.
  3. Anhand des Zeichens $<$, $>$, $\leq$, oder $\geq$ entscheiden wir welche Bereiche zur Lösung passen.

Eine Besonderheit bei Ungleichungen ist, wenn die Ungleichung als Produkt von zwei Faktoren vorliegt. Da wir wissen, dass

\begin{align*}
+ \cdot + = + \qquad \qquad + \cdot (-) = (-) \cdot + = (-) \qquad \qquad (-) \cdot (-) = +
\end{align*}

gilt, ergibt sich für das Beispiel

\begin{align*}
(x-1)\cdot (x+5)>0
\end{align*}

folgende Lösungsstrategie:

\begin{align*}
\begin{array}{crclcrcl}
& (x-1) &>& 0 & \text{ und } & (x+5)&>& 0 \\
&x &>& 1 & & x&>& -5
\end{array}
\end{align*}

\begin{align*}
\begin{array}{crclcrcl}
\text{ oder } & (x-1) &<& 0 & \text{ und } & (x+5)&<&0 \\
& x &<& 1 & & x &<&-5
\end{array}
\end{align*}

Aus dem ersten Paar $x>1$ und $x>-5$ erhalten wir als Lösung $x>1$, da diese die andere impliziert. Aus dem zweiten Paar $x<1$ und $x<5$ erhalten wir $x<-5$, da diese die andere impliziert. Die Lösung unserer Ungleichung lautet also

\begin{align*}
\mathbb{L}=(-\infty,-5)\cup(1,\infty)
\end{align*}

Die gleiche Lösung erhalten wir mit Hilfe des anderen Ansatzes. Es gilt:

\begin{align*}
\begin{array}{crl}
&(x-1)\cdot (x+5)&=~0\\
\Leftrightarrow~&x&=~1 \text{ oder } x=~-5
\end{array}
\end{align*}

Wir setzen also einen Wert kleiner als $-5$, einen Wert zwischen $-5$ und $1$ und einen Wert größer als $1$ ein. Wählen wir beispielsweise $-6$, $0$ und $2$, folgt:

\begin{align*}
\begin{array}{cll}
(-6-1)\cdot (-6+5)&=~(-7)\cdot (-1)&=~7\\
(0-1)\cdot (0+5)&=~(-1)\cdot (-5)&=~-5\\
(2-1)\cdot (2+5)&=~(1)\cdot (7)&=~7
\end{array}
\end{align*}

Aus der Aufgabenstellung sind die positiven Werte für uns interessant, sodass wir wiederum als Lösungsmenge

\begin{align*}
\mathbb{L} = (-\infty,-5)\cup(1,\infty)
\end{align*}

erhalten.

Achtung: Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheits-Zeichen!

Dies sehen wir direkt durch die beiden Gleichungen

\begin{align*}
\begin{array}{crcll}
&3 &<& 5 & | \cdot (-1)\\ \Leftrightarrow &-3 &> & -5 &
\end{array}
\end{align*}

denn würde sich das Zeichen bei Multiplikation der ersten Gleichung mit $-1$ nicht umdrehen, so wäre die zweite Gleichung falsch.