Polynomdivision

Die Polynomdivision ist ein Werkzeug, um den Grad eines Polynoms zu reduzieren. Meist ist eine Nullstelle der Funktion gegeben- oder lässt sich erraten, sodass mit Hilfe der Division der Grad des Polynoms reduziert wird und die verbleibenden Nullstellen berechenbar werden.

Befassen wir uns dazu im Folgenden mit dem Polynom $2x^3+2x^2-10x+6.$

Durch Probe erkennen wir, dass $x=1$ eine Nullstelle ist, denn es gilt

\begin{align*}
2\cdot 1^3+2\cdot 1^2-10\cdot 1+6 = 2+2-10+6=0 \quad \checkmark
\end{align*}

Vorgehen der Polynomdivision:

  • Wir schreiben zunächst das Polynom $:(x-x_0)$ auf, wobei $x_0$ eine bekannte Nullstelle ist.
  • Anschließend dividieren wir den Summanden mit der größten Potenz links vom $:$ durch $x$ und schreiben das Ergebnis auf die rechte Seite.
  • Nun multiplizieren wir den gerade notierten Wert mit $x-x_0$ und schreiben ihn unterhalb des Polynoms.
  • Den Teil, den wir unterhalb des Polynoms geschrieben haben, ziehen wir nun davon ab.
  • Für den nun verbleibenden Term gehen wir erneut zu Schritt 2.
  • Wenn wir nach der Subtraktion den Wert $0$ erhalten sind wir fertig. Der Wert rechts vom = ist das verbleibende Polynom.

Für unser Beispiel heißt das:
\begin{align*}
({2x^3}+2x^2-10x+6):(x-1)=2×2+4x-6 \\
\underline{-2x^3+2x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\
{4x^2-10x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\
\underline{-4x^2-10x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\
{-6x+6}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\
\underline{6x+6}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\
{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
\end{align*}

Das bedeutet, dass damit auch
\begin{align*}
(2x^2+4x-6)\cdot (x-1) = 2x^3+2x^2-10x+6
\end{align*}
gilt. Damit erhalten wir alle Nullstellen des Ausgangspolynoms, indem wir mit Hilfe der $pq$-Formel oder der quadratischen Ergänzung die verbleibenden Nullstellen berechnen. Um das Vorgehen jedoch nochmal zu wiederholen, führen wir erneut die Polynomdivision durch. Durch Raten erkennen wir, dass $x=1$ erneut eine Nullstelle von $2x^2+4x-6$ ist, denn es gilt:

\begin{align*}
2\cdot 1^2+4\cdot 1-6 = 0 \quad \checkmark
\end{align*}

Damit erhalten wir

\begin{align*}
(2x^2+4x-6:(x-1)=2x+6 \\
\underline{-2x^2+2x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\
{6x-6}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\
\underline{-6x-6}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\
{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
\end{align*}

und abschließend

\begin{align*}
\begin{array}{crcll}
&2x+6 &=& 0 & |-6 \\
\Leftrightarrow & 2x &=&-6 & |:2 \\
\Leftrightarrow &x &=&-3 &
\end{array}
\end{align*}

Beenden möchten wir diesen Abschnitt mit einer Regel, die es uns erleichtert, Nullstellen zu raten. Denn es gilt folgende Aussage:

Besitzt das Polynom nur ganzzahlige Koeffizienten, so ist jede ganzzahlige Nullstelle Teiler des absoluten Glieds.

Dabei entspricht das „absolute Glied“ gerade dem Term ohne $x$. In diesem Fall kamen als mögliche ganzzahlige Nullstellen also nur alle Teiler von $6$ in Frage. Es reicht demnach $\{\pm6,\,\pm3,\,\pm2,\,\pm1\}$ zu testen.