Potenzgesetze

Wir starten mit der Wiederholung der Potenzgesetze. Dazu haben wir eine Auswahl zunächst in folgender Tabelle dargestellt.

Regel
Erklärung

$a^0 = 1,~a\neq 0$

Eine von 0 verschiedene Zahl ergibt mit 0 potenziert immer 1.

$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$

Bei Multiplikation gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

$a^x\cdot b^x = (a\cdot b)^x$

Bei Multiplikation gleicher Exponenten wird das Produkt der Basen potenziert.

$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$

Beim Wechsel der Potenz von Zähler in Nenner wechselt das Vorzeichen des Exponenten.

$(a^x)^y= a^{x\cdot y}$

Bei Potenzierung einer Potenz ergibt das Produkt der Exponenten den neuen Exponenten.

$\frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x$

Die Potenz von Zähler und Nenner mit dem gleichen Exponenten stimmt mit der Potenz des gesamten Bruchs dieses Exponenten überein.

$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$

Bei Division gleicher Basis werden die Exponenten voneinander abgezogen.

Die Regeln erlauben es, komplexere Terme zu vereinfachen. Wir schauen uns folgende Beispiele an, wo wir die obigen Regeln anwenden und nicht die einzelnen Werte ausrechnen:

\begin{align*}
2^5 \cdot 5^6\cdot x^6\cdot \left(2^4\right)^2\cdot 3^5\cdot 6^3&=\left(2^5\cdot 3^5\right) \cdot \left(5^6\cdot x^6\right)\cdot\left(2^4\right)^2\cdot 6^3\\
&=\left(2\cdot 3\right)^5\cdot \left(5\cdot x\right)^6\cdot 2^{4\cdot 2}\cdot 6^3 =\left(6^5\cdot 6^3\right)\cdot (5x)^6\cdot 2^8\\
&=6^{5+3}\cdot (5x)^6\cdot 2^8 =\left(6^8\cdot 2^8\right)\cdot (5x)^6 =12^8\cdot (5x)^6
\end{align*}

Als zweites Beispiel vereinfachen wir:

\begin{align*}
x^{(x-1)y}\cdot y^2 \cdot y^{-3}\cdot z^{xy}\cdot x^y&=\left(x^{(x-1)y}\cdot x^y\right)\cdot \left(y^2\cdot y^{-3}\right)\cdot z^{xy}\\
&=x^{(x-1)y+y}\cdot y^{2-3}\cdot z^{xy} =\left(x^{xy}\cdot z^{xy}\right)\cdot y^{-1} =\frac{(xz)^{xy}}{y}
\end{align*}

Diese Potenzgesetze gelten daher auch für die Exponentialfunktion zur Basis $e$. Im Laufe des Hefts wird der Terminus $\exp(x)$ statt $e^x$ vorkommen. Dies dient lediglich der besseren Darstellung und bedeutet inhaltlich keinerlei Unterschied.