Mengen

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohl unterscheidbaren Elementen zu einem Ganzen.

Das bedeutet, dass wir jegliche Objekte in einer Menge zusammenfassen können und so auch eine Menge erhalten, wenn wir die einzelnen Objekte unterscheiden können. Diese beschreiben wir nach der gängigen Konvention mit geschweiften Klammern. Schau dir folgendes Lernvideo zur Menge von Daniel an, falls du noch Hilfe bei der Definition von Mengen brauchst:

Beispielsweise sind…
$A = \{\text{rot, blau, grün, gelb}\}$
$B = \{\text{groß, klein, stark, schwach}\}$
$C = \{1,2,3,4\}$
$D = \{\text{grün},~ 2,~ \pi,~ \sqcap,~ \text{qprt}\}$
$E = \{x\in\mathbb{R}:x^2>1\}$
…jeweils Mengen. Dabei ist es unerheblich, ob sich in dieser Menge Farben, Zahlen oder auch auf den ersten Blick unlogische Zeichen oder Textfolgen befinden. Hingegen sind

  • $G=\{0,1,2,3,4,5,0\}$
  • $H=\{\text{groß, klein, sehr klein, winzig, riesig, groß, gigantisch}\}$

keine Mengen, da sie jeweils zwei ununterscheidbare Elemente beinhalten. Für solche Objekte gibt es verschiedene Rechenoperationen, welche wir in folgender Tabelle beschreiben:

Mengen-Operation
Bedeutung

Ø

Beschreibt die leere Menge, die keine Elemente enthält.

$x\in M$

Beschreibt, dass ein Element x in einer Menge M enthalten ist.

$x\notin M$

Beschreibt, dass ein Element x nicht in einer Menge M enthalten ist.

$M\subset N$

Beschreibt die Teilmengeneigenschaft. M ist also eine Teilmenge der Menge N und somit sind alle Mengen von M auch in N enthalten.

$M\cup N$

Beschreibt die Vereinigung von zwei Mengen, das heißt, dass in der Vereinigung von M und N jedes Element von M und N liegt.

$M\cap N$

Beschreibt den Schnitt von zwei Mengen, das heißt, dass im Schnitt von zwei Mengen M und N nur die Elemente enthalten sind, welche sowohl in M als auch in N enthalten sind.

$M\big\backslash N$

Beschreibt die Differenzbildung der Mengen M und N. Wir sprechen von „M ohne N“. Also sind in M ohne N gerade die Elemente enthalten, welche in M aber nicht in N liegen.

Diese Operationen betrachten wir nun an folgenden Beispielen. Seien dazu die Mengen $A$, $B$, $C$ und $D$ wie oben beschrieben, dann gilt:

  • $A \neq\emptyset$
  • $\{1,2\} =\{2,1\}$
  • $\text{groß} \in B$
  • $\text{groß} \notin C$
  • $\{1,2\} \subset B$
  • $A \cup B = \{\text{rot, blau, grün, gelb, groß, klein, stark, schwach}\}$
  • $C \cup D =\{1,2,3,4,\text{grün, }\pi,\sqcap,\text{qprt}\}$
  • $A \cap C = \emptyset$
  • $C \cap D =\{2\}$
  • $C\big\backslash D = \{1,3,4\}$

Abschließend wiederholen wir in diesem Abschnitt noch die reellen Intervalle als Mengen, da diese im Laufe der verschiedenen Thematiken häufig auftauchen werden. Es gilt:

$(a,b) \rightarrow$ Alle $x\in\mathbb{R}$, bei denen gilt: $a<x<b$

$[a,b) \rightarrow$ Alle $x\in\mathbb{R}$, bei denen gilt: $a\leq x<b$

$(a,b] \rightarrow$ Alle $x\in\mathbb{R}$, bei denen gilt: $a<x\leq b$

$[a,b] \rightarrow$ Alle $x\in\mathbb{R}$, bei denen gilt: $a\leq x\leq b$