Partialbruchzerlegung

Mit der Partialbruchzerlegung wird uns ein Verfahren an die Hand gegeben, mit dem wir einen Bruch in möglichst viele Summanden aufteilen können. Dadurch ersparen wir uns bei gewissen Rechnungen, wie z.B. dem Integrieren, komplizierte Ausdrücke.

Vorgehen der Partialbruchzerlegung:

  1. Wir vergleichen den Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners. Das bedeutet, wir betrachten jeweils den höchsten vorkommenden Exponenten. Ist der Grad des Zählers größer, führen wir zunächst eine Polynomdivision mit dem gesamten Nenner durch. Dies funktioniert genauso wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, sodass wir als Lösung einen Bruch erhalten, bei dem der Grad des Nenners größer als der des Zählers ist.
  2. Wir berechnen die Nullstellen des neuen Nenners und führen anhand der Art der Nullstellen einen vordefinierten Ansatz durch (siehe nachstehende Tabelle).
  3. Mit Hilfe des Koeffizientenvergleichs ermitteln wir die fehlenden Parameter.
  4. Die Arten der Nullstellen sind Folgende:

  5. & $x_0$ ist $k$-fache nicht-reelle Nullstelle & $\frac{A_1x+A_2}{x^2+ax+b}+\frac{A_1x+A_2}{(x^2+ax+b)^2}+ \ldots +\frac{A_1x+A_2}{(x^2+ax+b)^k}$\\
Art der Nullstelle
Ansatz

$x_0 \textrm{ ist einfache reelle Nullstelle}$
$\frac{A}{x-x_0}$

$x_0 \textrm{ ist } k\textrm{-fache reelle Nullstelle}$
$\frac{A_1}{x-x_0}+\frac{A_2}{(x-x_0)^2}+…+\frac{A_k}{(x-x_0)^k}$

$x_0 \textrm{ ist einfache nicht-reelle Nullstelle}$
$\frac{A_1x+A_2}{x^2+ax+b}$

$x_0 \textrm{ ist }k\textrm{-fache nicht-reelle Nullstelle}$
$\frac{A_1x+A_2}{x^2+ax+b}+\frac{A_1x+A_2}{(x^2+ax+b)^2}+ \ldots +\frac{A_1x+A_2}{(x^2+ax+b)^k}$

Dieses Vorgehen verinnerlichen wir nun anhand eines Beispiels. Sei dazu der Term

\begin{align*}
\frac{1}{(x-1)^2\cdot(x+5)}
\end{align*}

gegeben. Wir sehen, dass der Grad des Nenners größer als der des Zählers ist und dass wir eine einfache Nullstelle an der Stelle $x_0=-5$ sowie eine doppelte Nullstelle an der Stelle $x_0=1$ vorliegen haben. Dies ergibt mit dem 2.) Ansatz\footnote{Zur besseren Übersicht wählen wir statt $A_1$, $A_2$ besser $A$, $B$ usw.}:

\begin{align*}
\frac{1}{(x-1)^2\cdot(x+5)}&=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+5}\\
&=\frac{A\cdot(x-1)\cdot(x+5)}{(x-1)^2\cdot(x+5)}+\frac{B\cdot(x+5)}{(x-1)^2\cdot(x+5)}+\frac{C\cdot(x-1)^2}{(x-1)^2\cdot(x+5)}\\
&=\frac{A\cdot(x^2+4x-5)+B\cdot(x+5)+C\cdot(x^2-2x+1)}{(x-1)^2\cdot(x+5)}
\end{align*}

An dieser Stelle ordnen wir den Zähler auf der rechten Seite immer neu, um den Koeffizientenvergleich zu erhalten. Dazu ordnen wir die Summanden nicht nach den auftretenden Variablen $A$, $B$ und $C$, sondern nach den auftretenden Potenzen $x^2$, $x$ und den Werten ohne $x$. Damit gilt:

\begin{align*}
\frac{1}{(x-1)^2\cdot(x+5)}&=\frac{Ax^2+4Ax-5A+Bx+5B+Cx^2-2Cx+C}{(x-1)^2\cdot(x+5)}\\
&=\frac{(A+C)x^2+(4A+B-2C)x-5A+5B+C}{(x-1)^2\cdot(x+5)}
\end{align*}

Da die Nenner auf den beiden äußersten Seiten gleich sind, müssen auch die Zähler übereinstimmen, sodass wir folgende Gleichungen für unseren Koeffizientenvergleich erhalten:

\begin{align*}
\begin{array}{rll}
A+C &= 0 & \Rightarrow \textrm{ da auf der linken Seite kein Term }x^2\text{ vorkommt}\\
4A+B-2C &= 0& \Rightarrow \textrm{ da auf der linken Seite kein Term }x\text{ vorkommt}\\
-5A+5B+C &= 1& \Rightarrow \textrm{ da auf der linken Seite der Wert }1\text{ steht}
\end{array}
\end{align*}

Wie wir ein solches Gleichungssystem systematisch lösen können, werden wir im Kapitel über lineare Algebra genauer erfahren. Hier begnügen wir uns mit der Lösung:

\begin{align*}
A=-\frac{1}{36}, \quad B=\frac{1}{6}, \quad C=\frac{1}{36}
\end{align*}

Wir können unseren Ausgangsterm daher wie folgt umschreiben:
\begin{align*}
\frac{1}{(x-1)^2\cdot(x+5)} = -\frac{1}{36\cdot(x-1)}+\frac{1}{6\cdot(x-1)^2}+\frac{1}{36\cdot(x+5)}
\end{align*}