Logarithmengesetze

In diesem Artikel wiederholen wir die Gesetze zum Rechnen mit dem Logarithmus.

An dieser Stelle benutzen wir das Zeichen $\log(x)$, um zu verdeutlichen, dass diese Regeln für jeglichen Logarithmus zu beliebiger Basis gelten. Meinen wir die Basis zur Eulerschen Zahl $e$, so schreiben wir $\log_e(x)=\ln(x)$. Die Regeln fassen wir in folgender Tabelle zusammen:

Regel
Erklärung

$\log(1) = 0$

Die Nullstelle des Logarithmus ist immer 1.

$\log(x)+\log(y) = \log(x\cdot y)$

Bei der Addition von Logarithmen werden die Argumente multipliziert.

$\log(x)-\log(y)=\log\left(\frac{x}{y}\right)$

Bei Subtraktion werden die Argumente dividiert.

$\log(x^r)=r\cdot\log(x)$

Ist das ganze Argument mit einer Potenz versehen, dürfen wir dieses multiplikativ vor den Logarithmus ziehen.

$\log_y(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(y)}$

Wir können jeden Logarithmus durch die links stehende Regel in einer gewünschten Basis a berechnen.

Diese Regeln verinnerlichen wir anhand der nächsten beiden Beispiele. Zuerst vereinfachen wir den gegebenen Term soweit wie möglich:

\begin{align*}
\ln((1+x)^2)-2\ln(x)+\ln(y)+\ln(2y)&=2\cdot\ln(1+x)-2\ln(x)+\ln(y\cdot (2y))\\
&=2\cdot\ln\left(\frac{1+x}{x}\right)+\ln(2y^2)
\end{align*}

Das zweite Beispiel zeigt einen der häufigsten Fehler bei den Umformungen mit Logarithmen. Wir dürfen wirklich nur den Exponenten aus dem Logarithmus ziehen, wenn das ganze Argument potenziert wird. Es gilt:

\begin{align*}
\ln(1+x^2)&\neq2\cdot\ln(1+x)
\end{align*}

Denn für $x=2$ folgt beispielhaft:

\begin{align*}
\ln(1+2^2)=\ln(5) \neq 2\cdot\ln(1+2)=2\cdot\ln(3)=\ln(3^2)=\ln(9)
\end{align*}