Betragsgleichung

In diesem kleinen Artikel beschäftigen wir uns etwas genauer mit Gleichungen, die zusätzlich einen Betrag beinhalten.

$\textbf{Definition des Betrags:}$

\begin{align*}
|.|:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}
\qquad \qquad
x\mapsto |x| = \left\{\begin{array}{ll} x, & x\geq 0 \\
-x, & x<1\end{array}\right. \end{align*} \end{example} Diese Darstellung werden wir ausführlicher im Kapitel behandeln. Die Definition legt es Nahe, bei der Betrachtung immer die Fallunterscheidung im Kopf zu haben, also ob etwas größer oder kleiner als $0$ ist. Für reelle Zahlen geht dies beispielsweise recht schnell: \begin{align*} |5| &= 5\\ |-1| &= -(-1) = 1\\ |0| &= 0 \end{align*} Der Betrag einer Zahl ist stets positiv. Bei einer Funktion gehen wir wie folgt vor: \begin{align*} \begin{array}{crl} &|x-5| &=~ 2\\ \Leftrightarrow&x-5 &=~ 2\quad\text{ oder }\quad x-5 = -2 \end{array} \end{align*} Wir erhalten die beiden Lösungen $x=7$ und $x=3$.