Der Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz wird zum Nachweisen von Nullstellen einer Funktion, bzw. ob eine Gleichung eine Lösung auf einem bestimmten Intervall besitzt, verwendet. Dies ist möglich, da jeder Wert zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) in dem Intervall \([a,b]\) mindestens einmal erreicht wird.

Das Bisektionsverfahren basiert auf dem ZWS.

Beim Nachweis von Surjektivität (Stetigkeit und Grenzverhalten einer Funktion) nutzen wir ebenfalls den Zwischenwertsatz.

Das Thema Zwischenwertsatz wird dir in diesem Lernvideo erklärt!

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Beispiel

Besitzt die folgende Gleichung eine Lösung im Intervall \([0,1]\)?

\(\exp^{x^2}+2x=1-\sin\left(\pi x-\frac{\pi}{3}\right)\qquad (1)\)

 

Wir formulieren das Problem um: Aus „Hat die Gleichung eine Lösung im Intervall \([0,1]\)?“ wird „Hat die Funktion \(f\) eine Nullstelle im Intervall \([0,1]\)?“. Dazu definieren wir uns eine Funktion, indem wir die Gleichung \((1)\) auf Null umformen.

\(f:\ \mathbb{R} \longrightarrow\, \mathbb{R} ,\ f(x) \ := \ \underbrace{\exp^{x^2}+2x-1+\sin\left(\pi x-\frac{\pi}{3}\right)\stackrel{!}{=}0}_{(1)}\)

 

\(f\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) (also auch auf \([0,1]\)) stetig, da es aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist.

 

\(f(0)=1+0-1+\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0\) \(f(1)=\exp+2-1+\underbrace{\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}_{\geq -1}>\exp+2-1-1=\exp>0\)

 

Da \(f\) stetig und \(f(0)<0<f(1)\) gilt, muss es nach dem Zwischenwertsatz ein \(x_0\in[0,1]\) geben, für das \(f(x_0)=0\) gilt. Dieses \(x_0\) löst damit auch die Gleichung \((1)\).

Achtung:
Der ZWS sagt lediglich aus, dass Werte mindestens einmal angenommen werden, wenn die Voraussetzungen erfüllt wurden. Des Weiteren kann nicht „`umgekehrt“‚ geschlussfolgert werden! Der ZWS sagt nur etwas über die Existenz aus, nicht über eine mögliche „`Nicht-Existenz“‚!

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