Folgen


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Einleitung in das Thema Folgen

Eine Folge \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ist eine Auflistung von nummerierten Objekten: \((a_n)= a_1, a_2, a_3, …, an_n\)

Die Zuordnungsvorschrift \(a_n\) ist dann eine Funktionsvorschrift, in die nur natürliche Zahlen eingesetzt werden dürfen. Die Zuordnungsvorschrift ordnet jeder Zahl aus \(\mathbb{N}\) eine Zahl aus \(\mathbb{R}\) zu.

Explizite Folgen:

liefern für ein n direkt den gewünschten Wert. Hier ein Beispiel:

\begin{align*}
&\text{Explizite Folge:} &(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \quad \text{mit}\quad a_n = \frac{1}{n}\\
&\text{Ersten Folgenglieder: } &1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots \lim\limits_{n\to \infty} 0 \\
\end{align*}

Rekursive Folgen:

besitzen (mindestens) einen Startwert. Bis zum gesuchten n-ten Folgenglied müssen alle vorherigen Folgenglieder ausgerechnet werden, da sie rekursiv in die Folge eingesetzt werden. Hier ein Beispiel:

\begin{align*}
&\text{Rekursive Folge: } &a_{n+1}= \frac{3+ a_n}{2a_n}, \quad \text{Startwert } a_1 = 1\\
&\text{Ersten Folgenglieder: } &1, 2, \frac{5}{4}, \frac{17}{10}, \frac{47}{34}, \ldots \lim\limits_{n\to \infty} \frac{3}{2}
\end{align*}

Schau dir das Lernvideo zum Thema explizite- und rekursive Folgen an!

Explizite, rekursive Folgen, Definition, Beispiele | Mathe by Daniel Jung


Definition von Folgen

Die folgenden Begriffe rund um Folgen sollten bekannt sein:

Konvergenz:

Eine Folge ist konvergent, wenn sie einen konkreten Grenzwert besitzt.

Divergenz:

Eine Folge ist divergent, wenn sie keinen Grenzwert besitzt.

Konvergent, Divergent, Folgen | Mathe by Daniel Jung

 

Bestimmt Divergent:

Eine Folge wird bestimmt divergent genannt, wenn diese gegen unendlich oder negativ unendlich strebt. Die Folge divergiert zwar, jedoch weiß man „wohin sie läuft“.

Grenzwert/Limes:

Die Zahl, der die Folge beliebig nahe kommt für einen immer größer werdenden Folgenindex (die Folge konvergiert gegen diesen Wert).

Teilfolge:

Eine Teilfolge einer Folge ist gant einfach eine Folge, die entsteht, wenn von der ursprünglichen Folge Folgenglieder gestrichen werden. Was alles gestrichen wird (ob willkürlich oder durch ein bestimmtes Gesetz), ist erst mal zweitrangig. Gewöhnlich haben Teilfolgen jedoch auch unendlich viele Elemente, genau wie die zugrunde liegende Folge.

Häufungspunkt:

Häufungspunkte einer Folge sind die Grenzwerte aller Teilfolgen mit unendlich vielen Elementen. Falls eine Folge konvergent ist, hat sie auch nur einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert selbst.

\(a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}\) divergiert, aber Häufungspunkte sind -1 und 1.

Achtung! Häufungspunkte sind bei Funktionen anders definiert

Nullfolge

Alle Folgen mit dem Grenzwert 0 sind Nullfolgen.

Nullfolge mit Beispielen, Folgen in der Mathematik, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung

 

Monotonie

Ist eine Eigenschaft des Wachstumsverhalten einer Folge.

  • monoton steigend: wenn \(a_n \leq a_{n+1}\) für alle Folgenglieder gilt.
  • streng monoton steigend: wenn \(a_{n}\) < \( a_{n+1}\) für alle Folgenglieder gilt.
  • monoton fallend: wenn \(a_n \geq a_n+1\) für alle Folgenglieder gilt.
  • streng monoton fallend: wenn \(a_n > a_n+1\) für alle Folgenglieder gilt.
Achtung! Monotonie wird beim Thema „Funktionen“ anders definiert.

Beschränktheit

Eine Folge ist beschränkt, wenn es Zahlen („Schranken“) gibt, welche die Folge für kein n unter- oder überschreitet.

  • Supremum: Ist die kleinstmögliche obere Schranke einer Folge: sup(\(a_n\))
  • Infimum: Ist die größtmögliche untere Schranke einer Folge: inf(\(a_n\))

Die Berechnung dieser Schranke geht im Normalfall einher mit der Berechnung eines möglichen Grenzwertes (oder aller Häufungspunkte) der Folge und des Monotonieverhaltens. Eine geschlossene Formel, wie sup(\(a_n\)), existiert nicht.

Folgen, Beschränktheit, Monotonie, Aufgabenbeispiel, Epsilon und Grenzwert gegeben | Daniel Jung

 

Grenzwerte Schreibweisen

Es gibt für gewöhnlich drei Schreibweisen, wie ein Grenzwert a einer Folge \((a_n)n \in \mathbb{N}\) berechnet bzw. notiert werden kann:

\begin{align*}
\lim\limits_{n\to \infty}{a_n}& = a \quad \quad \quad &(1.0)\\
a_n& \overset{{n \to \infty}}{\longrightarrow} a \quad \quad \quad &(1.1)\\
a_n& \rightarrow a \ (für\ \ n \rightarrow \infty) \quad \quad \quad &(1.2)
\end{align*}

Schreibweise (1.0) ist die Gängigste. Diese finden wir häufig in Definitionen- und allgemeinen mathematischen Sätzen wieder. Bei der Berechnung des Grenzwertes muss in jedem Schritt, in dem \(a_n\) vereinfacht/umgeschrieben wird, \(\lim\limits_{n\to \infty}\) davor geschrieben werden.


Bekannte Folgen und deren Grenzwerte

Für Grenzwertberechnungen solltest du diese spezifischen Folgen und deren Grenzwerte kennen.

Rationale Brüche

\(
\lim\limits_{n\to \infty}{\frac{a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots+a_1n+a_0}{b_ln^l+b_{l-1}n^{l-1}+\cdots+b_1n+b_0}}=\begin{cases} 0 \textrm{ für } k l \\ \frac{a_k}{b_l} \text{ für } k = l \\ \frac{a_k}{b_l} \cdot \infty \text{ für } k l \end{cases}
\)

Das \(\ \frac{a_k}{b_l} \ \) in \(\ \frac{a_k}{b_l}\cdot\infty \ \) ist lediglich für das Vorzeichen für \( \infty\) zuständig!
 
 
 

\(n\) im Exponenten einer Konstanten Zahl

\(
\lim\limits_{n\to \infty}{q^n}= \begin{cases} \textrm{ex. nicht} \textrm{ für } q \leq-1 \\ 0 \textrm{ für }-1 \ < \ q \ < \ 1 \\ 1 \textrm{ für }q = 1 \\ \infty \text{ für } q \ > \ 1 \end{cases}
\)
 
 
 

Darstellung der e-Funktion als Grenzwert einer Folge

\(
\lim\limits_{n\to \infty}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n} = \text{e}^x\quad \text{ z.B. } \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} \text{e},\ \left(1-\frac{2}{3n}\right)^n \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} \text{e}^{-\frac{2}{3}}
\)
 
 
 

\(n\)-te Wurzel

\(
\lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{a}} = 1\ , a\in\mathbb{R}^+\quad \text{ z.B. } \sqrt[n]{3}\overset{{n \to \infty}}{\longrightarrow} 1,\ \sqrt[n]{\frac{1}{10}}\overset{{n \to \infty}}{\longrightarrow} 1\\
\lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n^a}} = 1\ , a\in\mathbb{R}\quad \text{ z.B. } \sqrt[n]{n^{10}}\overset{{n \to \infty}}{\longrightarrow} 1,\ \sqrt[n]{\frac{1}{n}}\overset{{n \to \infty}}{\longrightarrow} 1\\
\lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n!}}=\infty;
\)

Konvergenzkriterien

Um das Konvergenzverhalten von Folgen nachzuweisen, bieten sich diese Methoden an:

1)  \(\ \varepsilon\)-Kriterium

2)  Beschränktheit & Monotonie nachweisen (Die Methode für rek. Folgen)

3)  Folge umformen, bis Konvergenz trivial ist

4)  Vergleichs-/Zangen-/Sandwichkriterium anwenden

 

1) Das \(\ \varepsilon\)-Kriterium

\begin{align}\quad \quad \exists a\in\mathbb{R} \ \forall\varepsilon > 0 \ \exists n_\varepsilon\in\mathbb{N} \ \forall n > n_\varepsilon \textrm{:} \ |a_n-b| \ < \varepsilon\end{align}

Es gibt eine reelle Zahl \(a\), sodass für alle Epsilons größer Null ein Folgenglied \(n_\varepsilon\) existiert, sodass für alle n größer als \(n_\varepsilon\) die Ungleichung \(|{a_n-a}|\textrm{ kleiner als }\varepsilon\) gilt. Hierbei ist \(a_n\) die Folge und \(a\) der Grenzwert der Folge (\(|{a_n-a}|\) ist damit eine Nullfolge!)

Die Vorgehensweise ist hier, den Term \(|{a_n-a}|\) so weit wie nötig nach oben abzuschätzen, sodass \(|{a_n-a}|\) immer noch eine Nullfolge ist und die Ungleichung \(|{a_n-a}|\) < \(\varepsilon\) nach \(n{=}\)„\(\varepsilon\)-abhängiger Term“ umgeformt werden kann; dieses \(n\) wird daraus resultierend zu \(n_\varepsilon\) umbenannt. Wenn nun \(n_\varepsilon\) immer größer wird für ein immer kleiner gewähltes \(\varepsilon\), ist alles korrekt.

\(\Rightarrow \ \varepsilon\) > 0 gegeben:
\begin{align}
\quad |{a_n-a}| \ < \ \ldots \ < \ \ldots \ < \ \text{n-abh. Term} \leq \underbrace{n_\varepsilon \text{ n-abh. Term }\ < \varepsilon}_{\ast^1} \\
\end{align}

\(\Rightarrow a_n\) konvergiert gegen den Grenzwert \(a\).

\(\ast^1\) Dieser Ausdruck sollte noch gesondert auf \(n_\varepsilon\) umgestellt werden.

Mit dem \(\varepsilon\)-Kriterium lassen sich Vermutungen über einen Grenzwert bestätigen. Das Kriterium ist nicht dafür gedacht einen Grenzwert zu bestimmen, wenn dieser noch nicht bekannt ist.

Schau dir zur Vertiefung folgendes erklärvideo von Daniel an!

Grenzwert, limes, Folgen, Epsilon | Mathe by Daniel Jung

 
Beispielaufgabe zum \(\varepsilon\)-Kriterium

Folgen, Beschränktheit, Monotonie, Aufgabenbeispiel, Epsilon gegeben | Mathe by Daniel Jung

 

2) Beschränktheit & Monotonie

Aus dieser Kombination ergeben sich folgende zwei Fälle:

  1. Folge nach oben beschränkt und monoton wachsend \(\Rightarrow\) Konvergenz
  2. Folge nach unten beschränkt und monoton fallend \(\Rightarrow\) Konvergenz

Im Gegenzug lässt sich sagen:

Ist die Folge monoton und nicht beschränkt \(\Rightarrow\) Folge ist bestimmt divergent.
Ist die Folge beschränkt und nicht monoton \(\Rightarrow\) Keine Aussage möglich.
 
Beispielaufgabe zu Beschränktheit und Monotonie

Folgen, Beschränktheit, Monotonie, Aufgabenbeispiel, Epsilon gegeben | Mathe by Daniel Jung

 

3) Folgen umformen

Die gängigste Methode bei expliziten Folgen. „Trivial ersichtlich“ bedeutet im Klartext, dass sich die Folge nach Umformungen nur noch aus bekannten Folgen mit bekannten Grenzwerten zusammensetzt und bei der Grenzwertbetrachtung keine kritischen Fälle auftreten. Dann kann der Grenzwert durch die Standard-Rechenregeln für Folgen berechnet werden.

4) Vergleichs-/Zangen-/Sandwichkriterium

Das Vergleichs-/Zangen-/Sandwichkriterium kann angewendet werden, wenn die gegebene Folge einmal nach oben und einmal nach unten abgeschätzt werden kann und diese neuen Folgen trotzdem noch den gleichen Grenzwert haben. Das im Regelfall Schwierige an der ganzen Sache ist, solche Folgen zu finden, mit denen es am Ende klappt:

\(a_n \ \textrm{gegeben:} \quad \textrm{„untere Folge“} \ u_n \leq a_n \leq o_n \quad \textrm{„obere Folge“} \) gilt für alle \(n\in\mathbb{N}\)

Wenn nun \(\lim\limits_{n\to \infty} {u_n}=\lim\limits_{n\to \infty} {o_n}=a\) gilt, dann auch \(\lim\limits_{n\to \infty}{a_n}=a\)


Rechenregeln

Wenn \(a_n\) und \(b_n\) konvergente Folgen mit Grenzwerten \(a\) und \(b\) sind, gilt:
\begin{alignat}{3}
&a_n\pm b_n \text{ ist konvergent mit }&& \lim_{n \to \infty}{(a_n\pm b_n)}&&=a\pm b\\
&a_n\cdot b_n \text{ ist konvergent mit }&& \lim_{n \to \infty}{(a_n\cdot b_n)}&&=a\cdot b\\
&\frac{a_n}{b_n} \text{ ist konvergent mit }&& \lim_{n \to \infty}{\left(\frac{a_n}{b_n}\right)}&&=\frac{a}{b}, \text{ falls } b\neq 0 \text{ ist}
\end{alignat}
Außerdem gilt die wichtige Regel:
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{\text{(„Beschränkte Folge“} \cdot \text{„Nullfolge“}})=0
\end{align}
 
Lernvideo mit Beispielen zu den Rechenregeln von Folgen

Grenzwertsätze, Folgen, Mathehilfe online, Erklärvideo | Mathe by Daniel Jung

 

Achtung!
Eine Argumentation wie z.B. „… strebt schneller gegen … als … gegen …, also ist der Grenzwert gleich …“ ist keine Rechenregel und stellt keine mathematische Argumentation dar! Es geht dabei lediglich um die Anschauung.


Explizite Folgendarstellung

Da die explizit definierten Folgen für jedes \(n\) direkt den Wert der Folge für dieses \(n\) liefern, kann auch die Grenzwertbetrachtung „ohne Umwege“ durchgeführt werden. Wie bereits erwähnt, bieten sich hier besonders iii) und iv) aus dem vorherigen Kapitel an. Wir bedienen uns bekannten Folgen und deren Grenzwerten aus dem Kapitel vorletzten Kapitel „bekannte Folgen und deren Grenzwerte“ sowie den Rechenregeln aus Kapitel „Konvergenzkriterien & Rechenregeln“. Allerdings müssen wir auf folgendes achten:

  • Die Funktion, in die die Grenzwertberechnung reingezogen werden soll, muss stetig sein und darf „außerhalb“ nicht von \(n\) abhängen
  • Folgende Ausdrücke sind unbestimmte Grenzwerte:

\begin{align}
\hspace{1cm}\frac{0}{0},\qquad \frac{\pm\infty}{\pm\infty},\qquad \infty-\infty,\qquad 0\cdot \infty,\qquad 1^\infty,\qquad \infty^0,\qquad 0^0
\end{align}

Achtung:
Die unbestimmten Grenzwerte stellen die Kernprobleme bei den Grenzwertberechnungen dar! Das gilt auch für Grenzwertberechnungen später bei Funktionen. Wir benötigen also Methoden, wie diese Ausdrücke umgeschrieben werden können, um sie auf lösbare Darstellungen zu bringen!

Bei den unbestimmten Grenzwerten kommt es anschaulich darauf an, wie „schnell“ die jeweiligen Einzelfolgen gegen ihre Grenzwerte streben bzw. welche „dominieren“. Dies ist aber in der Regel nur bei sehr einfachen Folgen ersichtlich und darf keinesfalls als Argumentation notiert werden, wie bereits bei den Rechenregeln erwähnt wurde!

Beispiel – „lim“ in Funktion ziehen
\begin{align*}
a_n &= \sin^2\!\left(\frac{\pi n}{4n+2}\right)\, ,\quad\! \lim_{n \to \infty}{a_n} \stackrel{\ast^1}{=} \sin^2\!\left(\lim_{n \to \infty}{\frac{\pi n}{4n+2}}\right) = \sin^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\!2}\!\!=\frac{1}{2}
\end{align*}

\(\ast^1:\) Der Limes darf hier reingezogen werden, da die Sinusfunktion in \(x_0=\frac{\pi}{4}\) und die Potenzfunktion in \(x_0=\frac{\sqrt{2}}{2}\) stetig sind.

Die Notwendigkeit dieser Anmerkung über die Stetigkeit der Funktionen in den jeweiligen Punkten wird an jeder Bildungseinrichtung und Veranstaltung individuell aufgefasst. Möglicherweise ist das für dich nicht relevant.

Rationale Brüche sind die einfachsten Beispiele für den Fall \(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\). Der Grenzwert kann aber leicht berechnet werden.


Vorgehensweise, falls du die Formel für rationale Brüche nicht benutzen darfst.

\begin{align*}
a_n &= 1-\frac{3+n}{n-27}\ ,\quad \lim\limits_{n\to \infty}{a_n} = \lim\limits_{n}{\left(1-\frac{n(\frac{3}{n}+1)}{n(1-\frac{27}{n})}\right)} = 1-\frac{0+1}{1-0}=1-1=0\\[3mm]
b_n &= \frac{3n^2-5n+16}{6n^3+121}\ ,\quad \lim\limits_{n\to \infty}{b_n} = \lim\limits_{n\to \infty}{\left(\frac{n^2(3-\frac{5}{n}+\frac{16}{n^2})}{n^2(6n+\frac{121}{n^2})}\right)}= 0\\[3mm]
c_n &= \frac{2n^3-n^4+5}{5+5n+n^3}\ ,\quad \lim\limits_{n\to \infty}{c_n} = \lim\limits_{n\to \infty}{\left(\frac{n^3(2-n+\frac{5}{n^3})}{n^3(\frac{5}{n^3}+\frac{5}{n^2}+1)}\right)}=-\infty
\end{align*}
 
Passendes Beispiel im Lernvideo

Folgen auf Grenzwerte untersuchen, Bruchbeispiel, Konvergenz | Mathe by Daniel Jung


Der unbestimmte Ausdruck \(\infty-\infty\) ist in der Regel besonders schlimm. Sind die einzelnen Ausdrücke Brüche, die gegen \(\infty\) laufen, so sollten diese gleichnamig gemacht werden, um evtl. auf den Fall \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\) zurückführen zu können. Liegt ein Fall mit Quadratwurzeln vor, so bedienen wir uns der 3. binomischen Formel:

\begin{align*}
a_n &=\underbrace{n-\sqrt{n^2-n}}_{„\infty-\infty“}\ ,\quad a_n=\left(n-\sqrt{n^2-n}\right)\cdot \frac{n+\sqrt{n^2-n}}{n+\sqrt{n^2-n}}=\frac{n^2-(n^2-n)}{n+\sqrt{n^2-n}}\\
&=\underbrace{\frac{n}{n+\sqrt{n^2-n}}}_{„\frac{\infty}{\infty}“}\stackrel{\ast^1}{=}\frac{n}{n\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}\quad \ast^2\overset{{n \to \infty}}{\longrightarrow} \frac{1}{1+\sqrt{1}}=\frac{1}{2}
\end{align*}

\(\ast^1\): Beachte: \(\sqrt{n^2-n}=\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})}=\sqrt{n^2}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=n\sqrt{1+\frac{1}{n}}\)
\(\ast^2\): Berechnung durfte durchgeführt werden, da die Wurzelfunktion in \(x_{0}\) = \(1\) stetig ist.
 
Hier findest du das passende Lernvideo

Folge mit Wurzel auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert, Multiplikation mit 1 Version


Bei n-ten Wurzeln, die nicht den bekannten Folgen zuzuordnen sind und in denen z.B. nicht einfach Terme gekürzt werden können, begegnet uns meistens der Fall \(\infty^0\) (Beachte, dass \(\sqrt[n]{\ldots}=(\ldots)^\frac{1}{n}\) gilt). Bei einigen solcher Folgen eignet sich das Vergleichskriterium, um den Grenzwert zu ermitteln:

\begin{align*}
a_n &= \sqrt[n]{9^n+6^n+2^n}\\[3mm]
&\hspace{0cm}\begin{array}{rrcccl}\hline
& u_n &\leq& a_n &\leq& o_n \quad (\forall n\in\mathbb{N})\\ \\
\text{mit: } &u_n = \sqrt[n]{9^n+0+0} &\leq& a_n &\leq& \sqrt[n]{9^n+9^n+9^n} = o_n\\ \\
\Rightarrow & \lim\limits_{n \to \infty}{\sqrt[n]{9^n}}&\leq& \lim\limits_{n \to \infty}{a_n} &\leq& \lim\limits_{n \to \infty}{\sqrt[n]{3\cdot 9^n}}\\ \\
\Leftrightarrow & \lim\limits_{n \to \infty}{9}&\leq& \lim\limits_{n \to \infty}{a_n} &\leq& 9\cdot \lim\limits_{n \to \infty}{\sqrt[n]{3}}\\ \\
\Leftrightarrow & 9&\leq& \lim\limits_{n \to \infty}{a_n} &\leq& 9\cdot 1 = 9\\[3mm]\hline
\end{array}\\ \\[3mm]
\Rightarrow a_n &= \sqrt[n]{9^n+6^n+2^n} \rightarrow{9} \ \text{(für n \(\rightarrow\) 9)}
\end{align*}


Wenn wir durch solche Standardverfahren nicht weiter kommen, bedienen wir uns der mächtigen Regel von l’hospital. Hier müssen die Einzelfolgen aus dem gerade vorliegenden Problem zu einer Funktion umdefiniert werden. Denn die Regel von l’hospital ist aufgrund ihrer Wirkweise nur für differenzierbare Funktionen definiert.

\begin{align*}
&a_n=(3n^3+e^n)^{\frac{1}{n-1}}\quad \lim\limits_{n \to \infty}{a_n}{=}\lim\limits_{n \to \infty}{e^{\frac{1}{(n-1)}\ln(3n^3+e^n)}}=\lim\limits_{n \to \infty}{e^{\frac{\ln(3n^3+e^n)}{(n-1)}}}\ \left(=e^{„\frac{\infty}{\infty}“}\right)\\ \\
&\text{Definiere: }\text{f: }{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}}, \ f(x)={\ln(3x^3+e^x)},\ \text{g: }{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}},\ g(x)={x-1}\\ \\
&\text{Nur Exponent: }\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{\ln(3x^3+e^x)}{x-1}}\stackrel{\text{l.’h.}}{=}\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{\frac{9x^2+e^x}{3x^3+e^x}}{1}}\stackrel{\text{l.’h.}}{=}\ldots\stackrel{\text{l.’h.}}{=}\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{e^x}{e^x}}=1\\ \\
&\lim\limits_{x \to \infty}{\exp^{\frac{f(x)}{g(x)}}}=\exp^1=e,\quad \text{also auch }\lim\limits_{n \to \infty}{a_n}=e
\end{align*}


Grenzwertnachweis durch das \(\varepsilon\)-Kriterium. Vorgehen ausführlich notiert:

\(a_n=\frac{42n^3+2n-10}{-n^3-n^2+4},\quad\) \(a=-42\), denn:

Sei \(\varepsilon>0\), dann existiert zu jedem \(\varepsilon\) ein \(\underbrace{n_\varepsilon {:=} \left\lceil \frac{404}{\varepsilon}\right\rceil}_{\ast^1}\), sodass:

\begin{align*}
|{a_n-(-42)}| & = |\frac{42n^3+2n-10}{-n^3-n^2+4}+\frac{42(-n^3-n^2+4)}{-n^3-n^2+4}| {=} |\frac{-42n^2+2n+158}{-n^3-n^2+4}| \\ \\
&=|\underbrace{\frac{-(42n^2-2n-158)}{-(n^3+n^2-4)}}_{\ast^2}|\stackrel{n\geq 2}{<}|{\underbrace{\frac{42n^2+2n^2+158n^2}{n^3+0-\frac{1}{2}n^3}}_{\ast^3}}|=|{\underbrace{\frac{202n^2}{\frac{1}{2}n^3}}_{\ast^4}}| \\ \\
&=404\frac{1}{n}\leq \underbrace{404\frac{1}{n_\varepsilon}{<}\varepsilon}_{\ast^5}
\end{align*}

mit \(404\frac{1}{n_\varepsilon}\) < \(\varepsilon \ \Leftrightarrow \ n_\varepsilon\) < \(\frac{404}{\varepsilon} \stackrel{\text{da } n_\epsilon\in\mathbb{N}}{\Rightarrow} \ \underbrace{n_\epsilon\text{:=}\left\lceil \frac{404}{\epsilon}\right\rceil}_{\ast^6}\)

\(\ast^1\): Das hier wird erst notiert, wenn die ganze Rechnung fertig ist. Oft hat es den Anschein, dass dieser Ausdruck „vom Himmel fällt‘. Dem ist nicht so!

\(\ast^2\): Minus ausgeklammert, damit vor den höchsten Potenzen positive Vorzeichen stehen. Nicht unbedingt nötig, aber angenehmer zu rechnen.

\(\ast^3\): Der Ausdruck musste größer werden. Ziel ist es, einen Ausdruck zu finden, den wir auf n umformen können, der aber eine Nullfolge bleibt! Daher hier den Zähler vergrößern (alle Terme, die nicht der höchsten Potenz entsprechen, einfach zur höchsten Potenz machen!) und Nenner verkleinern (alle positiven zu 0 setzen und negativen zur höchsten Potenz machen mit einem Vorfaktor, der die ursprünglich höchste Potenz nicht auslöscht. Die 4 ist zwar größer als \(\frac{1}{2}\), aber ab \(n\geq 2\) ist der umgeschriebene Term wieder größer).

\(\ast^4\): Ab hier kann theoretisch auf n umgeformt werden. Also n durch das \(n_\epsilon\) ersetzen.

\(\ast^5\): Das ist der „Zielausdruck“. Diesen können wir jetzt explizit auf \(n_\varepsilon\) umformen. Das liefert uns nämlich passend zur Definition einen Folgenindex (\(n_\varepsilon\)), ab dem die Folge einen vorgegebenen Bereich (den \(\varepsilon\)-Bereich) nicht mehr verlässt. Merke: Dieser Ausdruck hat mit dem Grenzwert von \(a_n\) augenscheinlich überhaupt nichts zu tun.

\(\ast^6\): Hier nur noch den Term \(\frac{404}{\varepsilon}\) zur nächsten natürlichen Zahl aufrunden, fertig.


Rekursive Folgen

Wie schon zu Beginn des Kapitels beschrieben, stellen die rekursiven Folgen eine andere Form der Berechnung von Folgengliedern dar. Für viele Folgen gibt es eine rekursive und eine explizite Darstellung. Die rekursive ist meistens sehr viel kompakter, weswegen diese häufig in Computerprogrammen benutzt wird (Realisierung einfach durch rekursive Funktionsaufrufe). Die explizite Darstellung ist jedoch sehr viel schneller in der Berechnung, da jedes Folgenglied direkt berechnet werden kann.

Beispiel zur Fibonacci-Folge

\((a_n)_{n\in\mathbb{N}}=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots)\) benannt nach Leonardo Fibonacci[im Jahr 1202]. Die Folgenglieder werden auch Fibonacci-Zahlen genannt.

Rekursive Darstellung: Diese ist ziemlich kompakt definiert. Die aktuelle Fibonacci-Zahl ist die Aufsummierung der jeweils vorherigen beiden:

\(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\quad \quad \text{mit}\quad \quad a_1=1,\quad a_2=1\)

Explizite Darstellung: Auf den ersten Blick nicht ersichtlich, dass die Folgenglieder übereinstimmen.

\(a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right] \)

Diese Folge ist in vielerlei Hinsicht faszinierend. Ein paar Beispiele:

  • Es gab über 500 Jahre keine explizite Darstellung dieser Folge. Offiziell entdeckt haben sie \textsc{Moivre} und \textsc{Binet} unabhängig von einander im Jahr 1718 und 1843.
  • Der Grenzwert vom Verhältnis zweier aufeinander folgenden Folgenglieder (\(\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\)) ist der sogenannte goldene Schnitt \(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618\). Diese Zahl taucht z.B. als Proportion in vielen Lebewesen auf. Sogar Architekten benutzen diese Zahl beim Entwurf von Gebäuden für Längenverhältnisse.
  • Der goldene Schnitt wird in der Fotografie genutzt, um Szenen in diesem Bildverhältnis interessanter wirken zu lassen.
  • Die Fibonacci-Zahlen sind Grundlage vieler Kunstgegenstände und tauchen aufgrund ihrer Faszination sogar in manchen Filmen, Serien oder Musikstücken auf.

Beispiel zur Fakultät

\((a_n)_{n\in\mathbb{N}}=(1,2,6,24,120,720,\ldots)\) mit der Schreibweise der Zuordnungsvorschrift \(n!=a_n\)

Rekursive Darstellung:

\(a_n=n\cdot a_{n-1}\quad\quad\text{mit}\quad\quad (a_0=1),\quad a_1=1\)

Explizite Darstellung:
\(a_n=\prod_{k=1}^{n}{k}=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n \)

Ausblick für Interessierte: Die Fakultät kann von den natürlichen Zahlen auf den Bereich der reellen Zahlen erweitert werden. Dazu dient z.B. die sogenannte Gamma-Funktion \(\Gamma\):
\(\Gamma (x) = \int\limits_0^\infty {s^{x – 1} e^{ – s} ds}\quad \text{mit Eigenschaft}\quad x!=\Gamma(x+1)=x\cdot\Gamma(x)\quad\text{z.B. ist } \left(\frac{1}{2}\right)!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)

 

Zuordnungsvorschrift aufstellen

Muster in der Realität zu entdecken und daraus ein mathematisches Modell (z.B. in Form einer rekursiven Folge) aufzustellen, gehört auf jeden Fall zu den spannenden Seiten der Mathematik, da natürlich der Anwendungsbezug direkt gegeben ist. Wichtiger für dich dürfte an dieser Stelle jedoch sein, für eine …-Schreibweise eines mathematischen Ausdrucks eine rekursive Bildungsvorschrift zu entwickeln. Dabei musst du ebenfalls (sich wiederholende) Muster in dem Ausdruck erkennen und versuchen, dieses Muster als rekursiven Aufruf in dem darauf folgenden Folgenglied zu nutzen. Falls es möglich ist das Muster durch eine Rekursionsvorschrift zu beschreiben, sind diese mit etwas Übung relativ leicht zu identifizieren, da ansonsten diese Schreibweise nicht klar werden würde. Meistens ist direkt der Grenzwert als „…“ -Schreibweise notiert. Dieser kann dann über die gefundene Bildungsvorschrift berechnet werden.

\(a=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\ldots}}}\)

Hier sollte euch auffallen, dass sich das Muster \(1+\frac{1}{\ldots}\) an der Stelle der … wiederholt. Daher setzen wir an die Stelle der … unser \(a_n\) und das Muster ist dann \(a_{n+1}\). Damit haben wir:

\(a_{n+1} =1+\frac{1}{a_n}\quad \quad \text{mit (für dieses Problem unbedeutendem)}\quad \quad a_1=1\)
\(\Rightarrow\ a =1+\frac{1}{a}\ \Leftrightarrow\ a^2-a-1=0\ \Leftrightarrow\ a_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

Es ist offensichtlich, dass a > 0 gelten muss, also ist \(a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

 

Rekursiv zu Explizit

Für eine rekursiv definierte Folge die explizite Zuordnungsvorschrift zu bestimmen, ist meistens eine schwierige — oftmals sogar unüberwindbare — Aufgabe. Es gibt hier kein Kochrezept, wie du dir vielleicht schon denken kannst. Man sollte damit beginnen, die ersten Folgenglieder zu bestimmen und mögliche Muster zu entdecken. Was ist von einem Schritt zu dem nächsten passiert und wie kann diese Berechnung unabhängig von vorherigen Folgengliedern „modelliert“ werden.

Rekursive Darstellung: \(\displaystyle a_{n+1}=(a_n)^2\qquad \text{ mit } \qquad a_1=2\)

\begin{array}{ccccc}
a_1 & a_2&a_3&a_4&\cdots\\\hline
2 & 4 & 16 & 256 &\cdots\end{array}

Du solltest erkennen:

\begin{array}{ccccc}
a_1 & a_2&a_3&a_4&\cdots\\\hline
2^1 & 2^2 & 2^4 & 2^8 &\cdots
\end{array}

Nun solltest du weiter sehen, dass der Exponent der Folgenglieder einem Bildungsgesetz folgt wie in etwa \(2^n\). Jetzt muss dieses nur noch mit dem Index der rekursiven Folgenglieder übereinstimmen:

\begin{array}{ccccc}
a_1 & a_2&a_3&a_4&\cdots\\\hline
2^{\left(2^0\right)} & 2^{\left(2^1\right)} & 2^{\left(2^2\right)} & 2^{\left(2^3\right)} &\cdots
\end{array}

Du solltest nun erkennen:\quad

\begin{array}{cc}
\cdots& a_n\\\hline
\cdots& 2^{\left(2^{n-1}\right)}
\end{array}

Also folgt die explizite Darstellung: \(\displaystyle a_n=2^{\left(2^{n-1}\right)}\)

Achtung: Dies ist offiziell erst die Vermutung über die explizite Darstellung, da das Bildungsgesetz nur über die ersten Folgenglieder abgeleitet wurde. Gilt diese auch allgemein? Beweis mit vollständiger Induktion!

IA: \(a_{1,\text{rek.}}=2\stackrel{!}{=}2^{\left(2^{1-1}\right)}=2^{\left(2^0\right)}=2^1=2=a_{1,\text{expl.}}\)

IS: \(n \rightarrow n+1\)

IV: \(a_n=2^{\left(2^{n-1}\right)}\) gilt für ein beliebiges, aber festes.

IB: Gilt auch \(a_{n+1}=2^{\left(2^{(n+1)-1}\right)}\)?

IV \(\rightarrow\) IB:
\begin{align*}
a_{n+1,\text{rek.}}=\left(a_n\right)^2\stackrel{IV}{=}\left(2^{(2^{n-1})}\right)^2=2^{2^1\cdot 2^{n-1}}=2^{2^{n-1+1}}=2^{2^{(n+1)-1}}=a_{n+1,\text{expl.}}
\end{align*}
Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt also \(\displaystyle a_n=2^{\left(2^{n-1}\right)}\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).

 

Grenzwertberechnung

Grenzwerte von rekursiv definierten Folgen zu berechnen ist in der Regel leichter als bei expliziten Folgen. Wir bedienen uns dabei folgender Eigenschaft:\(\lim\limits_{n \to \infty}{a_n}=\lim\limits_{n \to \infty}{a_{n+1}}=a\)

Da für \(a_{n+1}\) ein Bildungsgesetz vorliegt, das von \(a_n\) (evtl. auch von \(a_{n-1},\ a_{n-2},\ldots\)) abhängt, brauchen wir bei der Grenzwertberechnung nur auf \(a\) aufzulösen. Doch was ist, wenn kein eindeutiges Ergebnis vorliegt? Und wie bestätigen wir, dass überhaupt ein Grenzwert existieren kann? Dies hängt stark mit der Anfangsbedingung der Folge zusammen. Dazu müssen die Eigenschaften Beschränktheit und Monotonie nachgewiesen werden. Verfahren wie das \(\varepsilon\)-Kriterium, Vergleichskriterium oder Folge umformen, wie sie bei den expliziten Folgen üblich sind, liefern hier in der Regel keine Ergebnisse.

Falls es eine explizite Zuordnungsvorschrift für die vorliegende rekursiv definierte Folge gibt, kann natürlich auf die Methoden aus Kapitel „Explizitefolgen“ zurückgegriffen werden. Versuche jedoch nicht, erst so eine Vorschrift zu finden, wenn es lediglich um eine Grenzwertberechnung geht!

Grenzwertberechnung rekursive Folgen — Schema

  1. Beschränktheit} der Folge nachweisen; durch vollständige Induktion
  2. Monotonie} nachweisen (fallend oder steigend), auch oft durch Induktion
  3. „Aufgrund der nachgewiesenen Beschränktheit und Monotonie existiert ein Grenzwert der Folge“
  4. Grenzwert ausrechnen nach Grenzwertberechnenrekursivefolge. Möglicherweise gibt es mehrere durch die reine Rechnung; durch den Startwert und Punkt 1) und 2) den korrekten auswählen und die restlichen ausschließen

 
Beispiel:
\(a_{n+1}=\frac{2a_n}{3a_n+1}\ ,\quad a_1=10\)
 
1. Beschränktheit: \(a_{n}\) ist nach unten durch \(\frac{1}{3}\) beschränkt (also \(a_{n}>\frac{1}{3}\ \forall n\in\mathbb{N}\)):

IA: \(n=1: a_1=10>\frac{1}{3}\)

IS: \(n\rightarrow n+1\)

IV: \(a_n>\frac{1}{3}\) gilt für ein beliebiges, aber festes \(n\in\mathbb{N}\)

IB: Gilt auch \(a_{n+1}>\frac{1}{3}\)?

IV \(\rightarrow\) IB:
\begin{align*}
\ a_{n+1}>\frac{1}{3}\ \Leftrightarrow\ \frac{2a_n}{3a_n+1}>\frac{1}{3}\ \Leftrightarrow\ 6a_n>3a_n+1\ \Leftrightarrow\ 3a_n>1\ \Leftrightarrow\ a_n>\frac{1}{3}
\end{align*}
Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt also \(\displaystyle a_n>\frac{1}{3}\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).

 

2. Monotonie: \(a_n\) ist monoton fallend (also \(a_n>a_{n+1}\ \forall n\in\mathbb{N}\)):

IA: \(n=1: a_1=10>\frac{20}{31}=a_2\)

IS: \(n \rightarrow n+1\)

IV: Die Aussage \(a_n\) > \(a_{n+1}\) gilt für ein beliebiges, aber festes \(n\in\mathbb{N}\)

IB: Gilt auch \(a_{n+1}>a_{n+2}\)?

IV \(\rightarrow\) IB:
\begin{align*}
&a_{n+1}>a_{n+2}\ \Leftrightarrow\ \frac{2a_n}{3a_n+1}>\frac{2a_{n+1}}{3a_{n+1}+1}\ \Leftrightarrow\ 2a_n(3a_{n+1}+1)>2a_{n+1}(3a_n+1)\\
\Leftrightarrow\ & 6a_na_{n+1}+2a_n>6a_{n+1}a_n+2a_{n+1}\ \Leftrightarrow\ 2a_n>2a_{n+1}\ \Leftrightarrow\ a_n>a_{n+1} \text{ gilt nach IV}
\end{align*}
Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt also \(\displaystyle a_n>a_{n+1}\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).

 

3. Aufgrund der nachgewiesenen Beschränktheit und Monotonie existiert ein Grenzwert der Folge

 

4. Grenzwert: \(\lim a_n = \lim a_{n+1} = a\)
\begin{align*}
&a=\frac{2a}{3a+1}\ \Leftrightarrow\ 3a^2+a=2a\ \Leftrightarrow\ 3a^2-a=0\ \Leftrightarrow\ a(3a-1)=0\\
\ \Leftrightarrow\ &a=0 \vee a=\frac{1}{3}\\
\end{align*}
Aufgrund der Beschränktheit von \(a_n\) kommt \(a=0\) nicht als Grenzwert infrage. Also muss \(a=\frac{1}{3}\) der Grenzwert der Folge sein.