Nullstellen numerisch bestimmen

Bei Funktionen, die analytisch nicht nach \(x\) aufzulösen sind, z.B. \(f(x)=\text{e}^x+x=0\), benötigen wir numerische Verfahren, um Näherungslösungen zu bestimmen.

Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren wird genutzt, um Nullstellen von Funktionen numerisch zu bestimmen/sich ihnen anzunähern. Das Verfahren läuft iterativ ab mit einem Startwert \(x_0\). Mit Hilfe dieses Verfahrens lässt sich die Nullstelle extrem schnell approximieren. Allerdings kann es auch passieren, dass der Algorithmus nicht terminiert bei ungünstig gewähltem \(x_0\).

Newton-Verfahren, Näherungsverfahren Newton, Herleitung | Mathe by Daniel Jung

Newtonverfahren – Vorgehen

  • \(f'(x)\) bestimmen (\(x_0\) gegeben)
  • \begin{align*}
    \text{1. Schritt: }x_1&=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\notag\\
    \text{allg. n-ter Schritt: } x_n&=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}\quad(\ \ \overset{n \to \infty}{\longrightarrow}x \ \ )
    \end{align*}

Grafisch: Bei \(x_0\) starten; Tangente an den Graphen im Punkt \((x_0\,|\,f(x_0))\) zeichnen; Schnittpunkt mit der x-Achse ergibt \(x_1\); usw…


Beispiele: Zwei Iterationsschritte

\begin{align*}
f(x)&=x^3+2x+8=0\\ \\
x_0&=-1\\ \\
f'(x)&=3x^2+2\\ \\
x_1&=-1-\frac{-1-2+8}{3+2}\\ \\
&=-1-\frac{5}{5}=-2\\ \\
x_2&=-2-\frac{-8-4+8}{12+2}\\ \\
&=-2-\frac{-4}{14}=-\frac{24}{14}\\ \\
&\approx -1{,}71
\end{align*}

Bisektionsverfahren

Bisektion, Bisektionsverfahren, Intervallhalbierung, Gleichungen lösen | Mathe by Daniel Jung

Das Bisektionsverfahren wird ebenfalls genutzt, um Nullstellen von Funktionen numerisch zu bestimmen. Das Verfahren läuft iterativ ab mit einem Startintervall \([a,b]\) (bzw. \([a_0,b_0]\)). Das Verfahren ist im Vergleich mit dem Newton-Verfahren relativ langsam, terminiert jedoch immer.

Bisektionsverfahren – Vorgehen

Voraussetzung: \(f(a)<0<f(b)\), \(f\) ist in \([a,b]\) stetig \(\Rightarrow\) Nullstelle existiert durch den ZWS

  • \(x_n := \displaystyle{\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}}\) (Mittelwert des Intervalls)
  • \(f(x_n)=0 \Rightarrow x_n\) ist die gesuchte Nullstelle.
  • \(f(x_n)>0 \Rightarrow a_n:=a_{n-1}\) und \(b_n:=x_n\)
  • \(f(x_n)<0 \Rightarrow a_n:=x_n\) und \(b_n:=b_{n-1}\)

Beispiele: Drei Iterationsschritte

\begin{align*}
f(x)&=x^3+2x+8=0\\ \\
[a,b]&=[-2{,}5\, ,\, -1]\\ \\
f \text{ stetig}& \text{ und} \\ \\
f(-2{,}5)&<0<f(1) \text{ erfüllt.}\\ \\
\Rightarrow x_1 &= \frac{-2{,}5-1}{2}\\ \\
&=-1{,}75\\ \\
f(x_1)&\approx -0{,}86<0\\ a_1 &:=x_1\\ b_1 &:=b\\ \Rightarrow x_2 &= \frac{-1{,}75-1}{2}\\ &=-1{,}375\\ f(x_2)&\approx 2{,}65>0\\ \\
a_2 &:=a_1\\ \\
b_2 &:=x_2\\ \\
\Rightarrow x_3 &= \frac{-1{,}75-1{,}375}{2}\\ \\
&=-1{,}5625
\end{align*}