Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen stellen eine Erweiterung des Zahlenbereichs dar (komplexe Zahl \(z \in \mathbb{C} \supset \mathbb{R}\)). Sie werden genutzt um Gleichungen wie z.B. \(x^2+1=0\) lösen zu können (\(x^2=-1\) besitzt in \(\mathbb{R}\) keine Lösung).

Komplexe Zahlen basieren auf der erdachten Einheit \(i\), mit dessen Hilfe Gleichungen wie die obige gelöst werden können. Zu tief soll hier gar nicht in die theoretische Überlegung eingetaucht werden. Es sei nur soviel gesagt, dass die heutige Welt der Technik ohne die Berechnungsmöglichkeiten durch die komplexen Zahlen nicht existieren würde.

Themen auf dieser Seite


Allgemeines zu komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl besitzt:
\( \quad z=a+bi\)

 

Realteil Re(z) und Imaginärteil Im(z):
\(\quad\)Re(z) = \(a \in \mathbb{R}\)
\(\quad\)Im(z) = \(b \in \mathbb{R} \quad\) Beachte: Im(z) \(\neq bi\)!

Komplexe Zahlen sind aufgrund ihrer Konstruktion auf der komplexen Zahlenebene angeordnet.
Komplexe Zahlenebene


Alles verstanden bisher? Schau dir das passended Lernvideo zum Thema komplexe Zahlen an!

Komplexe Zahlen, Übersicht, Imaginäre Einheit, Realteil, Imaginärteil | Mathe by Daniel Jung


Betrag |z| und Argument \(\varphi\):

 

\(\quad |z|=r=\sqrt{(\textrm{Re{z}})^2+(\textrm{Im{z}})^2}=\sqrt{a^2+b^2}\\
\quad \varphi=\arg(z)\quad \textrm{Winkel zw. pos. Re-Achse und Strecke}\ \ \overline{0z}\)

 

Zu jeder komplexen Zahl z gibt es dessen Komplex Konjugierte \(\overline{z}\):
\(\quad \overline{z} = a – bi\)

 

Imaginäre Einheit \(i\): Diese besitzt die wichtigste Eigenschaft selbst:
\(\quad i^2 = -1\)

Entgegen vieler Schreibweisen und Internetquellen ist \(i\) rein mathematisch \(\textit{nicht}\) gleichzusetzen mit \(\sqrt{-1}\). Es kann in Rechnungen zwar so interpretiert werden und man gelangt normalerweise zu korrekten Ergebnissen, doch ein sauberer Rechenweg ist das nicht. Folgende Rechnung zeigt das Dilemma mit der Annahme, es gäbe \(\sqrt{-1}\) und man könne damit rechnen (vgl. \(\ast^2\): Das „\(=\)“ wäre ohne die Annahme der Existenz von \(\sqrt{-1}\) nämlich ebenfalls nicht korrekt!). Ab \(\ast^1\) geht dann die Rechnung schief und es entsteht ein Widerspruch:

\(\quad -1=i^2=i\cdot i =^{\ast^1} \ \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} =^{\ast^2} \ \sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1\quad\)

\begin{align*}
&x^2=-4\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt{-4}=\pm\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}=\pm2i&&\quad\text{unsauberer Weg!}\\[2mm]
&x^2=-4\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt{-4}=\pm\sqrt{4i^2}=\pm2i&&\quad\text{etwas besserer Weg!}\\[2mm]
&x^2=-4\ \Rightarrow\ x^2=4i^2\Rightarrow\ x=\pm2i&&\quad\text{korrekter Weg!}
\end{align*}

Größer/kleiner Vergleiche wie \(z_1<z_2\) gibt es hier nicht bzw. ergeben keinen Sinn (denn was sollte hier schon sinnvoll verglichen werden?).

Die imaginäre Einheit ist in der Mathematik der Buchstabe \(i\). Aber in der Elektrotechnik und Mechatronik wird z.B. \(j\) benutzt, um mit der Bezeichnung des elektrischen Stroms \(i\) nicht durcheinander zu kommen.


Darstellungsformen komplexer Zahlen

Da sich die komplexen Zahlen auf einer Ebene befinden, ist es naheliegend, Polarkoordinaten für eine eindeutige Zuordnung der Zahlen zu nutzen. Damit lassen sich die Zahlen in die \(\textit{Polarform}\) überführen. Diese Darstellung hat bei vielen Berechnungen unschlagbare Vorteile gegenüber der klassischen \(\textit{kartesischen Darstellung}\) der Zahlen.

Darstellungsformen komplexer Zahlen

Man definiert eine komplexe Zahl also entweder durch seinen Real- und Imaginärteil oder durch Betrag und Argument:

\(\quad \text{Kartesisch }z=a+bi \)
\(\quad \text{Polar }z=r\exp^{\varphi i} \)

Dass die Polarform durch die e-Funktion beschrieben wird, ergibt Sinn, da die e-Funktion im Komplexen abhängig von Betrag und Argument ist. Reduzieren wir diese auf reelle Zahlen, so ergibt sich wieder die übliche Exponentialfunktion, wie schon aus der Schule bekannt.

Es gibt noch die sogenannte trigonometrische Darstellung. Diese geht jedoch unmittelbar aus der Polarform und Formel hervor. Daher listen wir sie nicht gesondert auf.


Darstellungen umwandeln

Um beide Darstellungen nutzen zu können, musst du natürlich wissen, wie in die jeweilige Darstellung umgerechnet werden kann:

Kartesische in die Polarform

\(r=\sqrt{\textrm{Re{z}}^2+\textrm{Im{z}}^2}\)
 

\(\varphi=\begin{cases}\arccos\left(\frac{\textrm{Re{z}}}{r}\right)&\text{für }\textrm{Im{z}} \geq 0\\ 2\pi-\arccos\left(\frac{\textrm{Re{z}}}{r}\right)&\text{für }\textrm{Im{z}} < 0\end{cases}\)

 

Phi kann auch durch \(\arcsin(\ldots)\) oder \(\arctan\) berechnet werden, aber mit \(\arccos\) müssen wir 1. nicht großartig auf den Quadranten gucken, in dem die Zahl in der komplexen Zahlenebene liegt und 2. sind so normalerweise auch die Polarkoordinaten im \(\mathbb{R}^2\) definiert.

Polarform in die Kartesische

\(\quad \textrm{Re{z}}=r\cdot \cos(\varphi)\)
\(\quad \textrm{Im{z}}=r\cdot \sin(\varphi)\)


Beispiele zur Umwandlung komplexer Zahlen

Von Kartesisch nach Polar:
\begin{align*}
z&=3+\sqrt{3}\cdot i\qquad\text{mit}\\
&\qquad r=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}\\
&\qquad \varphi\stackrel{\sqrt{3}>0}{=}\arccos\left(\frac{3}{\sqrt{12}}\right)=\arccos\left(\frac{\sqrt{3^2}}{\sqrt{3\cdot 4}}\right)=\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\\
z&=2\sqrt{3}\cdot\exp^{\frac{\pi}{6}\cdot i}
\end{align*}

Von Polar nach Kartesisch:
\begin{align*}
z&=2\cdot \exp^{\frac{5}{4}\pi i}\qquad\text{mit}\\
&\qquad \textrm{Re{z}}=2\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)=2\cos\left(\pi+\frac{1}{4}\pi\right)=2\Bigl(-\cos\left(\frac{1}{4}\pi\right)\Bigr)=-2\frac{1}{\sqrt{2}}\\
&\qquad \textrm{Im{z}}=2\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)=2\sin\left(\pi+\frac{1}{4}\pi\right)=2\Bigl(-\sin\left(\frac{1}{4}\pi\right)\Bigr)=-2\frac{1}{\sqrt{2}}\\
z&=\sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot i
\end{align*}

Rechenregeln von komplexen Zahlen

Im Prinzip gelten alle Rechengesetze für Zahlen aus \(\mathbb{C}\), wie wir sie für die Zahlen aus \(\mathbb{R}\) kennen. Aufpassen müssen wir lediglich, dass sich Real- und Imaginärteile in Rechnungen nicht vermischen. Das \(i\) kannst du somit wie eine Variable ansehen, die jedoch die Eigenschaft besitzt.

Für kartesische Darstellung gilt…

\(\quad z_1 = a + bi \textrm{ und } z_2 = c + di \textrm{ sowie } n \in \mathbb{N}\)

Addition von komplexen Zahlen
\(\quad z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i\)

Multiplikation von komplexen Zahlen
\(\quad z_1\cdot z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

Division von komplexen Zahlen
\(\quad \frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)

Potenzieren komplexer Zahlen
\(\quad z_1^n=\ldots\text{nicht empfehlenswert ab }n\geq 5\)

\(\quad z_1^{z_2}=\ldots\text{nicht empfehlenswert}\)

Wurzel einer komplexen Zahl ziehen
\(\quad \sqrt[n]{z_1}=\ldots\text{nicht empfehlenswert}\)

Für Polarform gilt…

\(\quad z_1=r_1\cdot\exp^{\varphi_1i} \textrm{ und } z_2=r_2\cdot\exp^{\varphi_2i} \textrm{ sowie } n\in\mathbb{N}\)
Addition
\(\quad z_1+z_2=\ldots\text{nicht empfehlenswert} \)

Produkt
\(\quad z_1\cdot z_2=(r_1\cdot r_2)\cdot\exp^{(\varphi_1+\varphi_2)i} \)

Division
\(\quad \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1\cdot\exp^{\varphi_1i}}{r_2\cdot\exp^{\varphi_2i}}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\exp^{(\varphi_1-\varphi_2)i}\)

Potenzieren
\(\quad z_1^n=\left(r_1\cdot\exp^{\varphi_1i}\right)^n=r_1^n\cdot\exp^{n\varphi_1i}\)
\(\quad z_1^{z_2}=\exp^{z_2\cdot\ln(z_1)}\quad\text{mit}\quad z_2\cdot\ln(z_1) = r_2\exp^{\varphi_2i}\cdot\bigl(\ln(r_1)+\varphi_1i\bigr)\)
\(\quad \quad \text{dann } z_2 \textrm{ in kartesische Darstellung umwandeln}\)

Wurzel ziehen
\(\quad \sqrt[n]{z_1}=\ldots\text{verwende Produkt-Gleichung}\)

Allgemein lässt sich bei gewissen Rechenoperationen eine Parallele zur Vektorrechnnug im \(\mathbb{R}^2\) erkennen:Komplexe Zahlen Rechenregeln

Multipliziert (dividiert) man zwei komplexe Zahlen, dann werden die Beträge multipliziert (dividiert) und die Argumente addiert (subtrahiert).


Auswahl komplexer Funktionen und komplexe Wurzel

Hier stellen wir ausgewählte Funktionen vor, wie sie für komplexe Zahlen z definiert sind und die nützlich bei Berechnungen von Ausdrücken mit komplexen Zahlen sind:

Komplexe e-Funktion
\(\quad \exp^{z}=\exp^{\Re{z}}\Bigl(\cos\bigl(\textrm{Im{z}}\bigr)+i\sin\bigl(\textrm{Im{z}}\bigr)\Bigr)\qquad\text{damit gilt auch}\)
\(\quad r\cdot\exp^{\varphi i}=r\cdot\Bigl(\cos\bigl(\varphi\bigr)+i\sin\bigl(\varphi\bigr)\Bigr)\)

Komplexer Logarithmus (Für z in Polarform gilt)
\(\quad \ln{(z)}=\ln{(r\exp^{\varphi i})}=\ln(r)+\varphi i\)

Komplexe trigonometrische Funktionen
\(\quad \sin(z)=\frac{1}{2i}\left(\exp^{iz}-\exp^{-iz}\right)\)
\(\quad \cos(z)=\frac{1}{2}\left(\exp^{iz}+\exp^{-iz}\right)\)

Komplexes Wurzelziehen (Für z in Polarform gilt)
\(\quad \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cdot \text{exp}\left\{\frac{\varphi+2k\pi}{n}\cdot i\right\},\quad \forall\,k\in\{0,1,\ldots,n-1\}\)

Achtung!
Wird die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl gezogen, erhalten wir immer n Lösungen (Erkenntnis aus dem Fundamentalsatz der Algebra). Dies unterscheidet sich grundlegend von dem Wurzelziehen im Reellen.


Beispiel zu „Komplexes Wurzelziehen“ für z in Polarform

Da die Formel zu Komplexes Wurzelziehen immer recht kryptisch wirkt, es aber einen recht einfachen, grafischen Zusammenhang hierbei gibt, hier eine Beispielrechnung samt Skizze:

Finde alle Lösungen der Gleichung \(z^5=3-3\sqrt{3}\). Also zunächst von kartesisch nach polar:

\begin{alignat*}{2}
&3-3\sqrt{3}\cdot i\qquad\text{mit}\\
&\qquad r=\sqrt{9+9\cdot 3}=\sqrt{36}=6\\
&\qquad \varphi\stackrel{-3\sqrt{3}<0}{=}2\pi-\arccos\left(\frac{3}{6}\right)=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5}{3}\pi\\
\rightarrow\ &3-3\sqrt{3}\cdot i\ =6\cdot\exp^{\frac{5}{3}\pi\cdot i}
\end{alignat*}
Damit gilt für z:
\begin{align*}
\Rightarrow\ z&=\sqrt[5]{z_1}=\sqrt[5]{6}\cdot\text{exp}\left\{\frac{\frac{5}{3}\pi+2k\pi}{5}\cdot i\right\}=\sqrt[5]{6}\cdot\text{exp}\left\{\biggl(\frac{1}{3}\pi+\frac{2}{5}k\pi\biggr)\cdot i\right\}\\
&=\sqrt[5]{6}\cdot\text{exp}\left\{\biggl(\frac{5}{15}\pi+\frac{6}{15}k\pi\biggr)\cdot i\right\},\quad \forall\,k\in\{0,1,2,3,4\}
\end{align*}
Also sind die Lösungen:

\begin{alignat*}{3}
&z_1&&=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot i}&&\qquad(k=0)\\
&z_2&&=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{11}{15}\cdot \pi\cdot i}&&\qquad(k=1)\\
&z_3&&=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{17}{15}\cdot \pi\cdot i}&&\qquad(k=2)\\
&z_4&&=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{23}{15}\cdot \pi\cdot i}&&\qquad(k=3)\\
&z_5&&=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{29}{15}\cdot \pi\cdot i}&&\qquad(k=4)
\end{alignat*}

\begin{align*}
Alle Lösungen von $z^5=6-3\sqrt{3}\cdot i$ in der komplexen Zahlenebene:
\end{align*}
Lösung in komplexer Zahlenebene

Es reicht theoretisch völlig aus, \(z_1\) auszurechnen und sich \(z_{2,\ldots,5}\) geometrisch zu konstruieren. Alle Lösungen \(z_1 \textrm{ bis } z_5\) sind nämlich die Eckpunkte eines regelmäßigen Vielecks auf dem Kreis mit Radius \(\sqrt[5]{6}\). Diese Anordnung erlaubt es uns, die restlichen vier Lösungen neben \(z_1\) zu bestimmen, indem lediglich der Winkel (\(\frac{2\pi}{5}\)) zwischen allen Lösungen jeweils aufaddiert wird, mit \(z_1\) als „Ausgangslösung“. Also:

\begin{alignat*}{3}
&z^5&&=3-3\sqrt{3}\\
\Leftrightarrow\ &z^5&&=6\cdot\exp^{\frac{5}{3}\pi\cdot i}\\
&z_1&&=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{3}\pi\cdot i}=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{1}{3}\pi\cdot i}\\[4mm]
& &&\text{da 5. Wurzel: }\frac{2\pi}{5}\text{ von einer zur nächsten Lösung zum Argument add.:}\\[4mm]
\Rightarrow\ &z_2&&=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\left(\frac{1}{3}\pi+\frac{2\pi}{5}\right)\cdot i}=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{11}{15}\pi\cdot i}\\
\Rightarrow\ &z_3&&=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\left(\frac{11}{15}\pi+\frac{2\pi}{5}\right)\cdot i}=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{17}{15}\pi\cdot i}\\
\Rightarrow\ &z_4&&=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\left(\frac{17}{15}\pi+\frac{2\pi}{5}\right)\cdot i}=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{23}{15}\pi\cdot i}\\
\Rightarrow\ &z_5&&=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\left(\frac{23}{15}\pi+\frac{2\pi}{5}\right)\cdot i}=\sqrt[5]{6}\cdot\exp^{\frac{29}{15}\pi\cdot i}
\end{alignat*}

Ob du dir die Formel merkst, oder nach diesem Schema rechnest, ist natürlich dir selbst überlassen.


Potenzen von i und kombiniertes Beispiel

\begin{align*}
&\begin{array}{*4{>{\displaystyle}l}}
i^2=-1 &\quad,\,i^3=-i &\quad,\,i^4=(-1)^2=1 &\quad,\,i^{25}=i^{24}\cdot i=i\\
i^{79}=i^{76}\cdot i^3=-i &\quad,\,i^{568}=1 &\quad,\,i^{946}=i^{944}\cdot i^2=-1 &\quad,\,i^{-7}=\frac{1}{i^7}=\frac{i}{i^8}=i
\end{array}
\end{align*}

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl ergeben.

Kombiniertes Beispiel

Bestimme \(\textrm{Re{z}}, \textrm{Im{z}}, \textrm{abs{z}}, \overline{z} \textrm{ und } \textrm{arg(z)}\)
\begin{align*}
z&=2\sqrt[i-1]{i^{57}},\quad z=2\sqrt[i-1]{i^{56}\cdot i}=2\sqrt[i-1]{i}=2i^{\frac{1}{i-1}}{=}2\exp^{\frac{1}{i-1}\ln(i)}\\ \\
&=2\text{exp}\left\{\frac{-1-i}{(i-1)(-i-1)}\ln(\exp^{\frac{\pi}{2}i})\right\}=2\text{exp}\left\{-\frac{1+i}{2}\cdot\frac{\pi}{2}i\right\}=2\text{exp}\left\{\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}i\right\}\\ \\
&=2\exp^{\frac{\pi}{4}}\left(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr)\right){=}2\exp^{\frac{\pi}{4}}\left(\cos\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)-i\sin\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)\right)\\ \\
&=2\exp^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\exp^{\frac{\pi}{4}}-\sqrt{2}\exp^{\frac{\pi}{4}}\cdot i\\ \\
\textrm{Re{z}}&=\sqrt{2}\exp^{\frac{\pi}{4}},\quad \ \textrm{Im{z}}=-\sqrt{2}\exp^{\frac{\pi}{4}}, \quad \ =2\exp^{\frac{\pi}{4}}, \quad \ \overline{z}=\sqrt{2}\exp^{\frac{\pi}{4}}+\sqrt{2}\exp^{\frac{\pi}{4}}\cdot i\\ \\
\arg(z)&=-\frac{\pi}{4}
\end{align*}

Komplexe Folgen und Reihen

Wir wollen hier kurz das Thema „Konvergenzverhalten von komplexen Folgen und Reihen“ anreißen. Eine komplexe Folge oder Reihe ist dann konvergent, wenn ihr Real- und Imaginärteil konvergiert.

Die Grenzwertberechnung und der Nachweis von Konvergenz oder Divergenz von Folgen und Reihen funktioniert mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen. Die Anwendung der Konvergenzkriterien ist allerdings eingeschränkt. Es gibt kein Vergleichskriterium bei Folgen und kein Majoranten-, Minoranten- und Leibnizkriterium bei Reihen sowie allgemein keine Abschätzungen nach oben oder unten, da < und > bei komplexen Zahlen nicht existiert.

\begin{align*}
a_n = \frac{n+3i}{2n-i}\ ,\quad \lim\limits_{n\to \infty}{a_n} = \lim\limits_{n\to \infty}{\frac{n+3i}{2n-i}} = \lim\limits_{n\to \infty}{\frac{n\left(1+\frac{3i}{n}\right)}{n\left(2-\frac{i}{n}\right)}}=\frac{1}{2}
\end{align*}


\begin{align*}
b_n = \frac{n+3i}{2n-ni}\ ,\quad \lim\limits_{n\to \infty}{b_n} = \lim\limits_{n\to \infty}{\frac{n\left(1+\frac{3i}{n}\right)}{n\left(2-i\right)}}=\frac{1}{2-i}=\frac{1(2+i)}{4+1}=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i
\end{align*}


\begin{align*}
c_n = \left(\frac{3}{4}\cdot \text{e}^{i\pi}\right)^n\ ,\quad \lim\limits_{n\to \infty}{c_n} = \lim\limits_{n\to \infty}{\left(\frac{3}{4}\cdot \text{e}^{i\pi}\right)^n} = \lim\limits_{n\to \infty}{\left(\frac{3}{4}\right)^n\cdot \text{e}^{i\pi n}} = 0
\end{align*}


\begin{align*}
\sum_{k=0}^{\infty}&{\frac{(2+i)^k}{k!}}\ , \quad \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{\frac{(2+i)^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{(2+i)^k}{k!}}\right|=\left|\frac{(2+i)(2+i)^k\cdot k!}{k!(k+1)\cdot (2+i)^k}\right|=\left|\frac{2+i}{k+1}\right|\lim\limits_{k\to \infty} 0<1\\ &\Rightarrow \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(2+i)^k}{k!}}\text{ konvergiert (absolut).} \end{align*}

Zum Abicheck