Determinante

Die Determinante (Mathematisch auch die Determinantenfunktion genannt) ordnet jeder quadratischen Matrix \({A}\in\mathbb{R}^{n\times n}\) eine Zahl \(a\in\mathbb{R}\) zu:
\begin{align*}
&{f}:\mathbb{R}^{n{ x }n}\rightarrow\mathbb{R},\textbf{A}\rightarrow \text{det}(\textbf{A}) \\
\text{oder}\quad&{f}: \mathbb{R}^{n{ x }n}\rightarrow\mathbb{R},\textbf{A}\rightarrow{|\textbf{A}|}
\end{align*}

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Was gibt die Determinante an?

Die Determinante einer Matrix \({A}\) (\(\det({A})\) oder \(|{A}|\)) gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten zusammengesetzten Geometrie skaliert, wenn diese durch die Matrix \(A\) abgebildet wird. Ist die Determinante negativ, so ändert sich zusätzlich die Orientierung der Eckpunkte.

  • Das bedeutet, dass die Eckpunkte einer Geometrie in einen Untervektorraum abgebildet werden, der von niedrigerer Dimension ist als der, aus dem die Spaltenvektoren der Matrix stammen, z.B. wenn eine 3\(x\)3-Matrix Punkte aus dem Raum (\(\dim(\mathbb{R}^3)\)=3) auf eine zweidimensionale Ebene (oder auf eine 1-dimensionale Gerade) abbildet.
  • Das bedeutet dann, dass die Spaltenvektoren der Matrix keine Basis bilden.
  • Daraus lässt sich wiederum schließen, dass die Spaltenvektoren linear abhängig sind.
  • Also ist die Matrix nicht invertierbar \(\ldots\) usw.

\begin{align}
\text{det}(A) \begin{cases} \neq 0 & \Rightarrow \ {A}^{-1}\text{ existiert.} \\
=0 & \Rightarrow \ {A}^{-1} \text{ existiert nicht.}\end{cases}
\end{align}

Hier nochmal ein Grundlagenvideo zur Determinante

Was gibt die Determinante einer Matrix an? | Mathe by Daniel Jung


Rechenregeln zu Determinanten

Matrix A ist quadratisch (\(\textbf{A}\in\mathbb{R}^{n x n}\)). Daher gelten die folgenden Rechengesetze:
\begin{align*}
& \text{det}(\textbf{A}\cdot \textbf{B})&&=\text{det}(\textbf{A})\cdot \text{det}(\textbf{B})\\[2mm]
& \text{det}(\textbf{A}^T)&&=\text{det}(\textbf{A})\\[2mm]
& \text{det}(\textbf{A}^{-1})&&=\frac{1}{\text{det}(\textbf{A})}\\[2mm]
& \text{det}(m\cdot\textbf{A})&&=m^n\cdot\text{det}(\textbf{A})\quad\text{mit}\quad m\in\mathbb{R}
\end{align*}

Wenn \(\text{det}(\textbf{A})=a\) ist, dann gilt:

  1. Multiplikation einer Zeile (Spalte) von A mit einer Zahl \(\lambda\) \(\Rightarrow \text{det}(\textbf{A})=\lambda\cdot a\)
  2. Vertauschen von 2 Zeilen (2 Spalten) von A \(\Rightarrow \det(\widetilde{\textbf{A}})=-a\)
  3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile \(\Rightarrow \det(\widetilde{\textbf{A}})=a\)
  4. Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Zeile \(\Rightarrow \det(\widetilde{\textbf{A}})=a\)

„…zu einer anderen Zeile (Spalte)“‚. Diese Zeile (Spalte) müssen wir bei der veränderten Matrix verändern und nicht die Zeile (Spalte), von der wir ein Vielfaches für die Rechnung genommen haben!

..mit \(\widetilde{\textbf{A}}\) als Matrix \(\textbf{A}\) nach der jeweiligen Manipulation


Beispiel
 
Zu 1) Erste Zeile mit 3 multipliziert
\begin{align*}
\text{det}(\textbf{A})=\text{det}
\left(
\begin{matrix} % 3×3
3 & -1 & 2 \\
0 & 3 & 4 \\
1 & -2 & 0
\end{matrix}\right)=-14,\qquad\text{det}(\widetilde{\textbf{A}})=\text{det}
\left(
\begin{matrix} % 3×3
9 & -3 & 6 \\
0 & 3 & 4 \\
1 & -2 & 0
\end{matrix}\right)=3\cdot -14=-42
\end{align*}

Zu 2) Zweite und dritte Spalte getauscht.
\begin{align*}
\text{det}(\textbf{A})=\text{det}
\left(
\begin{matrix} % 3×3
3 & -1 & 2 \\
0 & 3 & 4 \\
1 & -2 & 0
\end{matrix}
\right)=-14,\qquad\text{det}(\widetilde{\textbf{A}})=\text{det}
\left(
\begin{matrix} % 3×3
3 & 2 & -1 \\
0 & 4 & 3 \\
1 & 0 & -2
\end{matrix}
\right)=14
\end{align*}

Zu 3) \(3\cdot\text{„dritte Zeile“}-\text{„erste Zeile“}\Rightarrow\) wird neue erste Zeile
\begin{align*}
\text{det}(\textbf{A})=\text{det}
\left(
\begin{matrix} % 3×3
3 & -1 & 2 \\
0 & 3 & 4 \\
1 & -2 & 0
\end{matrix}
\right)=-14,\qquad\text{det}(\widetilde{\textbf{A}})=\text{det}
\left(
\begin{matrix} % 3×3
0 & -5 & -2 \\
0 & 3 & 4 \\
1 & -2 & 0
\end{matrix}
\right)=-14
\end{align*}


Berechnung von Determinanten

Das allgemeine Verfahren zum Berechnen von Determinanten einer \(n\) x \(n\)-Matrix ist der Laplace’sche Entwicklungssatz. Speziell für eine 3 x 3-Matrix gibt es die Regel von Sarrus und das Rechenschema für eine 2 x 2-Matrix solltest du dir auch abseits des Entwicklungssatzes merken.

1 x 1 Matrix

Determinante einer 1 x 1 Matrix entspricht ihrem einzigen Element.

2 x 2 Matrix
\begin{align}
&\text{det}
\left(
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right)=a \cdot d \ – \ c \cdot b
\end{align}

3 x 3 Matrix – Regel von Sarrus
\begin{align}
&\text{det}
\left(
\begin{matrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{matrix}\right) = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh
\end{align}

n x n Matrix – Laplace’scher Entwicklungssatz (allgemeines Verfahren)
\begin{align}%
\text{Entweder}\quad\text{det}(\textbf{A})&=\sum_{j=1}^n\left[a_{ij}\cdot(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}\right]\quad \text{Entwicklung nach \(i\)-ter Zeile}\\
\text{oder}\quad\text{det}(\textbf{A})&=\sum_{i=1}^n\left[a_{ij}\cdot(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}\right]\quad \text{Entwicklung nach \(j\)-ter Spalte}
\end{align}

Was bedeuten die Formeln bzw. wie sind diese zu lesen?

  • Es ist völlig egal, nach welcher Zeile oder Spalte entwickelt wird (möglichst nach der Zeile/Spalte mit den meisten Nullen)
  • Term \(a_{ij}\): Das Element \(a_{ij}\) aus der Matrix A
  • Term \((-1)^{i+j}\): „Schachbrettregel für Vorzeichen“.
    Merke dir die Matrix mit dem Vorzeichenschema
    \begin{align*}
    \left(
    \begin{matrix}
    + & – & + & – & \cdots \\
    – & + & – & + & \cdots \\
    + & – & + & – & \cdots \\
    – & + & – & + & \cdots \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
    \end{matrix}
    \right)
    \end{align*}
  • Term \(D_{ij}\): Die sogenannte Unterdeterminante (oder der Minor) der Matrix A, wenn die \(i\)-te Zeile und \(j\)-te Spalte von A heraus gestrichen wird
    \begin{align*}
    \textbf{A}=
    \left(
    \begin{matrix} % 3×3
    1 & 3 & 8 \\
    -2 & 5 & 0 \\
    4 & 6 & 7
    \end{matrix}\right),\quad D_{32}=
    \left|
    \begin{matrix} % 2×2
    1 & 8 \\
    -2 & 0
    \end{matrix}\right|,\quad D_{13}=
    \left|
    \begin{matrix} % 2×2
    -2 & 5 \\
    4 & 6
    \end{matrix}\right|,\quad D_{22}=
    \left|
    \begin{matrix} % 2×2
    1 & 8 \\
    4 & 7
    \end{matrix}
    \right|
    \end{align*}
  • (Terme \((-1)^{i+j}\cdot D_{ij}\) nennen sich Kofaktoren der Matrix A.)

 
Weiteres Beispiel

\(\text{det}(\textbf{A})=\text{det}
\left(\begin{matrix} % 4×4
-4 & 0 & \pmb{-1} & -1 \\
2 & 2 & \pmb{0} & 2 \\
-2 & 3 & \pmb{1} & -5 \\
-1 & 1 & \pmb{0} & -2
\end{matrix}\right)
\)

 

Determinante Berechnen

\(\stackrel{\text{Sarrus}}{=}-1\cdot(-12+10-4-(-6)-(8)-(-10))+1\cdot(16+0+(-2)-(2)-(0)-(-8))\\
\stackrel{\phantom{Sarrus}}{=}-(2)+(20)=18\)

Anwendung von Determinanten

Wozu sollten wir Determinanten berechnen?

Es ist ein „mathematisches Werkzeug“, mit dem wir einfach überprüfen können, ob:

  • Eine (quadratische) Matrix invertierbar/regulär ist
  • Eine Abbildung ein Automorphismus (und damit auch Iso-, Mono- und Epimorphismus) ist
  • Ein gegebenes EZS eine Basis ist
  • … usw …

 
Beispiel
Für welche Parameter \(a\in\mathbb{R}\) ist die Abbildung \(f_A\) ein Isomorphismus?
\begin{align*}
f_A:{\mathbb{R}^3}\rightarrow\mathbb{R}^3,\overrightarrow{x}\rightarrow\textbf{A}\overrightarrow{x}\quad\text{mit}\quad\textbf{A}=
\left(
\begin{matrix} % 3×3
-1 & 2 & 9+a \\
1+a & 4-a & -3 \\
a & 2 & 4
\end{matrix}
\right)
\end{align*}

Kluges Vorgehen: Wenn \(f_A\) ein Isomorphismus ist, ist es auch ein Automorphismus (\(f_A\) ist schon ein Endomorphismus, da von \(\mathbb{R}^3\) nach \(\mathbb{R}^3\) abgebildet wird). Wenn dem so ist, existiert \({A}^{-1}\) und damit muss det(A)=0 sein.

det(A) berechnen: In Matrix A ist kein Eintrag 0. Wir können aber z.B. Zeile \(3\cdot(-1)\) nehmen und auf die erste Zeile addieren. So ändert sich die Determinante nicht, Element \(a_{12}\) wird Null und wir haben Rechenschritte gespart (Kein Muss!). Danach Entwicklung nach 2. Spalte:

\begin{align*}
&=+(4-a)\Bigl((-1-a)\cdot 4-a(5+a)\Bigr)-2\Bigl((-1-a)(-3)-(1+a)(5+a)\Bigr)\\
&=(4-a)\Bigl(-4-4a-5a-a^2\Bigr)-2\Bigl(3+3a-5-6a-a^2\Bigr)\\
&=(4-a)\Bigl(-a^2-9a-4\Bigr)-2\Bigl(-a^2-3a-2\Bigr)=(a-4)\Bigl(a^2+9a+4\Bigr)+2\Bigl(a^2+3a+2\Bigr)\\
&=a^3+9a^2+4a-4a^2-36a-16+2a^2+6a+4\\
&=a^3+7a^2-26a-12
\end{align*}

Nun det(A)=0 setzen, um die \(a\) zu berechnen, die nachher ausgeschlossen werden müssen!

det(A) ist ein Polynom dritten Grades. Wenn eine „schöne“ Lösung für \(a\) existiert (\(a\in\mathbb{Z}\)), dann ist diese Teiler vom Absolutglied (-12). Also \(a\in\left\{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\right\}\). Durch ausprobieren (Empfehlung: Funktionswert durch Horner-Schema ausrechnen) finden wir \(a=3\) als eine Lösung. Polynom durch Horner-Schema auftrennen:

\(\Rightarrow a^3+7a^2-26a-12=\underbrace{(a-3)}_{a_1\,=\,3}\underbrace{(a^2+10a+4)}_{a\,=\,?}=0\stackrel{pq}{\quad} a_{2,3}=-5\pm\sqrt{21}\)
 
Also ist \(f_A\) ein Isomorphismus, wenn \(a\in\mathbb{R}\setminus\left\{3,-5-\sqrt{21},-5+\sqrt{21}\right\}\)